Problem B. 5182. (September 2021)

B. 5182. The number \(\displaystyle 612^2=374\,544\) ends in two digits of \(\displaystyle 4\) in base \(\displaystyle 10\) notation. What is the maximum number of digits of \(\displaystyle 4\) at the end of a perfect square?

Based on the idea of I. Blahota

(3 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy három 4-esre végződhet négyzetszám, de négyre már nem.

Némi próbálgatás után észrevehetjük, hogy \(\displaystyle 38^2=1444\), tehát három 4-esre valóban végződhet négyzetszám.

Most belátjuk, hogy négy 4-esre nem végződhet négyzetszám. Mivel egy négyzetszám nem lehet negatív, ezért egy négyzetszám pontosan akkor végződhetne négy 4-esre, ha a 10000-es maradéka 4444 lenne. Ehhez speciálisan az is kell, hogy 16-os maradéka annyi legyen, mint a 4444 szám 16-os maradéka, hiszen \(\displaystyle 16\mid 10000\). A 4444 szám 16-os maradéka \(\displaystyle 4444=16\cdot 277+12\) alapján 12. Ha egy \(\displaystyle k\) szám négyzete 12 maradékot adna 16-tal osztva, akkor \(\displaystyle k\)-nak párosnak kell lennie, és \(\displaystyle k=2K\) jelölés mellett \(\displaystyle k^2-12=4K^2-12=4(K^2-3)\) szám 16-tal osztható kellene legyen. Ehhez az kellene, hogy \(\displaystyle 4\mid K^2-3\) legyen, azonban egy szám négyzete soha nem ad 3-as maradékot 4-gyel osztva (a páros számok négyzetének 4-es maradéka \(\displaystyle (2\ell)^2=4\ell^2\) alapján 0, a páratlan számok négyzetéé pedig \(\displaystyle (2\ell + 1)^2=4(\ell^2 + \ell)+1\) alapján 1). Tehát valóban nem lehet 12 egy négyzetszám 16-os maradéka, és így négy 4-esre végződő négyzetszám sincsen.

Megjegyzés. Három 4-esre végződő négyetszámokat a következő, szisztematikus módon kereshetünk. Olyan \(\displaystyle k\) értékeket keresünk, melyekre a \(\displaystyle k^2\) szám 1000-es maradéka 444. Mivel \(\displaystyle 1000=2^3\cdot 5^3\), ezért ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 8\mid k^2-444\) és \(\displaystyle 125\mid k^2-444\), vagyis, ha a \(\displaystyle k^2\) szám 8-as maradéka 4 (hiszen \(\displaystyle 444=8\cdot 55 +4)\) és 125-ös maradéka 69 (hiszen \(\displaystyle 444=125\cdot 3+69\)).

Pontosan akkor lesz a \(\displaystyle k^2\) szám 8-as maradéka 4, ha a \(\displaystyle k\) szám páros, de 4-gyel nem osztható.

Most nézzük a 125-ös maradékot. Ha ez 69, akkor a 25-ös maradék 19, az 5-ös maradék pedig 4, vagyis \(\displaystyle k=5a\pm 2\) alakú. Vizsgáljuk először a \(\displaystyle k=5a+2\) esetet. Ekkor \(\displaystyle k^2=(5a+2)^2=25a^2+20a+4\), ami 25-tel osztva pontosan akkor ad 19 maradékot, ha a \(\displaystyle 25a^2+20a+4-19=5(5a^2+4a-3)\) szám 25-tel osztható. Ez pedig akkor teljesül, ha \(\displaystyle 5\mid 4a-3\), azaz, ha \(\displaystyle a=5b+2\) alakú. Ekkor \(\displaystyle k=5a+2=5(5b+2)+2=25b+12\), így \(\displaystyle k^2=625b^2+600b+144\), aminek 125-ös maradéka akkor lesz 69, ha \(\displaystyle 125\mid 600b+144-69=600b+75\), vagyis ha \(\displaystyle 5\mid 24b+3\). Ez éppen akkor teljesül, ha \(\displaystyle b=5c+3\) alakú, amiből \(\displaystyle k=25b+12=25(5c+3)+12=125c+87\).

Ehhez hasonlóan a \(\displaystyle k=5a-2\) esetből az adódik, hogy a \(\displaystyle k\) szám 125-ös maradékának 38-nak kell lennie, hogy 69 legyen a \(\displaystyle k^2\) szám 125-ös maradéka.

Tehát \(\displaystyle k=125c+87\) vagy \(\displaystyle k=125c+38\) alakú.

Ezt egybevetve azzal, hogy \(\displaystyle k\) páros, de 4-gyel nem osztható kapjuk, hogy a megfelelő 1000-es maradékok: 38, 462, 538, 962. Tehát a \(\displaystyle k\) pozitív szám négyzete pontosan akkor végződik 444-re, ha \(\displaystyle k\) utolsó három jegye 038, 462, 538 vagy 962.

Statistics:

166 students sent a solution.
3 points:	121 students.
2 points:	5 students.
1 point:	12 students.
0 point:	21 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021