Problem B. 5183. (September 2021)

B. 5183. Side \(\displaystyle AB\) of a triangle \(\displaystyle ABC\) has unit length, \(\displaystyle \angle BAC = 60^{\circ}\), \(\displaystyle \angle ACB =100^{\circ}\) and the midpoint of side \(\displaystyle BC\) is \(\displaystyle F\). \(\displaystyle D\) is a point on side \(\displaystyle AB\) such that \(\displaystyle DB = FB\). Find the exact value of \(\displaystyle T_{ABC\triangle}+2T_{FBD\triangle}\), where \(\displaystyle T_{ABC\triangle}\) denotes the area of triangle \(\displaystyle ABC\). (\(\displaystyle T\) means the area of the triangle of the triangle named in the index.)

Proposed by S. Kiss, Nyíregyháza

(4 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\)-nél fekvő szöge \(\displaystyle 20^{\circ}\). A feladat szövege alapján \(\displaystyle FBD\) egyenlő szárú háromszög, alapon fekvő szögei \(\displaystyle 80^{\circ}\)-osak. Szintén \(\displaystyle 80^{\circ}\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-nél fekvő külső szöge, így kézenfekvő, hogy felmérjük az \(\displaystyle FD\) szakaszt \(\displaystyle C\)-től indulva az \(\displaystyle AC\) félegyenesre. Legyen a szakasz másik végpontja az \(\displaystyle E\) pont, az ábra szerint. (Az \(\displaystyle FCE\) háromszöget a \(\displaystyle BF\) egyenesére tükrözve és a \(\displaystyle \overrightarrow{BF}\) vektorral eltolva, más szóval csúsztatva tükrözéssel kapjuk a \(\displaystyle BDF\) háromszögből.)

Az eddigiek alapján \(\displaystyle CF=FB=FE\), tehát az \(\displaystyle E\) pont \(\displaystyle BC\) Thalész-körének pontja, a \(\displaystyle CEB\sphericalangle=90^{\circ}\). Az \(\displaystyle AEB\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle EAB\sphericalangle=60^{\circ}\), a háromszög félszabályos. A \(\displaystyle BCE\) háromszög területe éppen kétszerese az \(\displaystyle FCE\) háromszög, illetve az ezzel egybevágó \(\displaystyle FDB\) háromszög területének. A feladat kérdésében szereplő terület tehát egyenlő az \(\displaystyle AEB\) félszabályos háromszög területével. Ennek átfogója egységnyi, így területe \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}\).

Statistics:

136 students sent a solution.
4 points:	77 students.
3 points:	22 students.
2 points:	14 students.
1 point:	5 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021