Problem B. 5185. (September 2021)

B. 5185. Find the real solutions of the equation

\(\displaystyle \sqrt[3]{4-x^2}+\sqrt{x^2-3}=1. \)

Proposed by M. Szalai, Szeged

(4 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle |x|\geq \sqrt{3}\).

Az \(\displaystyle a:=\sqrt[3]{4-x^2}\) és \(\displaystyle b:=\sqrt{x^2-3}\) jelöléseket bevezetve az egyenlet

\(\displaystyle a+b=1,\)

ugyanakkor

\(\displaystyle a^3+b^2=4-x^2+x^2-3=1.\)

A kapott feltételek alapján

\(\displaystyle 1=a^3+b^2=a^3+(1-a)^2,\)

amit rendezve

\(\displaystyle 0=a^3+a^2-2a,\)

és végül szorzattá alakítva:

\(\displaystyle 0=a(a-1)(a+2).\)

Tehát \(\displaystyle a\) értéke 0, 1, vagy \(\displaystyle -2\) lehet.

Most megmutatjuk, hogy ha \(\displaystyle x\)-et úgy választjuk meg, hogy \(\displaystyle a\) értéke az előbbi három lehetőség közül kerüljön ki, akkor valóban teljesül az egyenlet. Legyen tehát \(\displaystyle x\) olyan, hogy \(\displaystyle a=\sqrt[3]{4-x^2}\in \{0,1,-2\}\). Mivel \(\displaystyle 1=a^3+(1-a)^2\), ezért \(\displaystyle (1-a)^2=1-a^3=1-(4-x^2)=x^2-3\). Ekkor \(\displaystyle 1-a\in\{1,0,3\}\), vagyis \(\displaystyle 1-a\) mindenképpen nemnegatív, és így \(\displaystyle \sqrt{x^2-3}=\sqrt{(1-a)^2}=1-a\). Ez éppen azt jelenti, hogy az egyenlet valóban teljesül:

\(\displaystyle \sqrt[3]{4-x^2}+\sqrt{x^2-3}=a+(1-a)=1.\)

Azt kell tehát meghatároznunk, mely \(\displaystyle x\)-ekre lesz \(\displaystyle a=\sqrt[3]{4-x^2}\in \{0,1,-2\}\). Világos, hogy ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 4-x^2\in\{0,1,-8\}\), ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^2\in \{4,3,12\}\), vagyis ha \(\displaystyle x\in \{\pm 2,\pm\sqrt3,\pm 2\sqrt3 \}\). (Mindegyik értékre teljesül az \(\displaystyle |x|\geq \sqrt{3}\) kikötés is.)

Tehát az egyenletnek hat megoldása van:

\(\displaystyle \pm 2,\quad \pm\sqrt3,\quad \pm 2\sqrt3.\)

Statistics:

178 students sent a solution.
4 points:	98 students.
3 points:	41 students.
2 points:	12 students.
1 point:	6 students.
0 point:	14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021