 |
A B. 5188. feladat (2021. szeptember) |
B. 5188. Igazoljuk, hogy az érintőtrapéz magassága nem lehet nagyobb alapjai mértani közepénél.
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a trapéz alapjai \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\), a beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle r\), a kör érintési pontjai az oldalakon \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) az ábra szerint. A csúcsokból a körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők, ezeket jelölje \(\displaystyle AP=AS=x\), \(\displaystyle BP=BQ=y\), \(\displaystyle CQ=CR=z\), illetve \(\displaystyle DR=DS=w\). A trapéz magassága \(\displaystyle m=PR=2r\), alapjainak hossza \(\displaystyle AB=x+y\), illetve \(\displaystyle CD=z+w\).
Először kifejezzük a magasságot az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle w\) szakaszokkal. Legyen az \(\displaystyle A\) pont merőleges vetülete a \(\displaystyle CD\) egyenesen \(\displaystyle A_0\); ekkor az \(\displaystyle APRA_0\) négyszög téglalap, és az \(\displaystyle ADA_0\) (esetleg elfajuló) derékszögű háromszög befogói \(\displaystyle AA_0=m\) és \(\displaystyle A_0D=|RA_0-RD|=|x-w|\), átfogója \(\displaystyle AD=x+w\). A Pitagorasz-tételből
\(\displaystyle m^2 = AA_0^2 = AD^2-A_0D^2 = (x+w)^2-|x-w|^2 = 4xw. \)
(Egy másik lehetőség: az \(\displaystyle OAD\) háromszög derékszögű, mert például az \(\displaystyle OA\) és \(\displaystyle OD\) félegyenesek felezik az \(\displaystyle SOP\), illetve az \(\displaystyle ROS\) szöget, és \(\displaystyle OS\) az átfogóhoz tartozó magasság. A magasságtételből \(\displaystyle \Big(\frac{m}{2}\Big)^2=r^2=OS^2=AS\cdot DS=xw\).)
Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontok szerepének felcserélésével ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle m^2=4yz\); négyzetgyököt vonva,
\(\displaystyle m = 2\sqrt{xw} = 2\sqrt{yz}. \)
A feladat állításának bizonyításához írjuk fel a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz egyenlőtlenséget a \(\displaystyle \big(\sqrt{x},\sqrt{y}\big)\) és \(\displaystyle \big(\sqrt{w},\sqrt{z}\big)\) számpárokra:
\(\displaystyle \sqrt{xw}+\sqrt{yz} = \sqrt{x}\cdot\sqrt{w}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{z} \le \sqrt{\big(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\big)\big(\sqrt{w}^2+\sqrt{z}^2\big)} = \sqrt{(x+y)(w+z)\big)}. \)
Vegyük észre, hogy a baloldalon \(\displaystyle \sqrt{xw}+\sqrt{yz} = \frac{m}2+\frac{m}2 = m\), a jobboldalon pedig éppen \(\displaystyle \sqrt{(x+y)(w+z)\big)}=\sqrt{AB\cdot CD}\) áll. Tehát,
\(\displaystyle m \le \sqrt{AB\cdot CD}. \)
Végül megvizsgáljuk, hogy milyen trapézok esetén áll egyenlőség. A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz egyenlőtlenségben akkor áll egyenlőség, ha \(\displaystyle \sqrt{x}:\sqrt{w}=\sqrt{y}:\sqrt{z}\). Mint láttuk, \(\displaystyle \sqrt{xw}=\sqrt{yz}\); a két relációból azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle x = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{w}}\cdot\sqrt{xw} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}}\cdot\sqrt{yz} = y, \)
és
\(\displaystyle w = \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{xw} = \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{y}}\cdot\sqrt{yz} = z, \)
vagyis egyenlőség csak úgy lehet, ha a trapéz szimmetrikus. Ha pedig a trapéz szimmetrikus, akkor valóban egyenlőség áll, mert
\(\displaystyle m = 2\sqrt{xw} = \sqrt{2x \cdot 2w} = \sqrt{(x+y)\cdot(z+w)} = \sqrt{AB\cdot CD}. \)
Tehát a bizonyítandó egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll egyenlőség, ha a trapéz szimmetrikus.
Statisztika:
A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai