Problem B. 5188. (September 2021)
B. 5188. Prove that the height of a circumscribed trapezium cannot be greater than the geometric mean of the bases.
Proposed by L. Németh, Fonyód
(5 pont)
Deadline expired on October 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyenek a trapéz alapjai \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\), a beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle r\), a kör érintési pontjai az oldalakon \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) az ábra szerint. A csúcsokból a körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők, ezeket jelölje \(\displaystyle AP=AS=x\), \(\displaystyle BP=BQ=y\), \(\displaystyle CQ=CR=z\), illetve \(\displaystyle DR=DS=w\). A trapéz magassága \(\displaystyle m=PR=2r\), alapjainak hossza \(\displaystyle AB=x+y\), illetve \(\displaystyle CD=z+w\).
Először kifejezzük a magasságot az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle w\) szakaszokkal. Legyen az \(\displaystyle A\) pont merőleges vetülete a \(\displaystyle CD\) egyenesen \(\displaystyle A_0\); ekkor az \(\displaystyle APRA_0\) négyszög téglalap, és az \(\displaystyle ADA_0\) (esetleg elfajuló) derékszögű háromszög befogói \(\displaystyle AA_0=m\) és \(\displaystyle A_0D=|RA_0-RD|=|x-w|\), átfogója \(\displaystyle AD=x+w\). A Pitagorasz-tételből
\(\displaystyle m^2 = AA_0^2 = AD^2-A_0D^2 = (x+w)^2-|x-w|^2 = 4xw. \)
(Egy másik lehetőség: az \(\displaystyle OAD\) háromszög derékszögű, mert például az \(\displaystyle OA\) és \(\displaystyle OD\) félegyenesek felezik az \(\displaystyle SOP\), illetve az \(\displaystyle ROS\) szöget, és \(\displaystyle OS\) az átfogóhoz tartozó magasság. A magasságtételből \(\displaystyle \Big(\frac{m}{2}\Big)^2=r^2=OS^2=AS\cdot DS=xw\).)
Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontok szerepének felcserélésével ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle m^2=4yz\); négyzetgyököt vonva,
\(\displaystyle m = 2\sqrt{xw} = 2\sqrt{yz}. \)
A feladat állításának bizonyításához írjuk fel a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz egyenlőtlenséget a \(\displaystyle \big(\sqrt{x},\sqrt{y}\big)\) és \(\displaystyle \big(\sqrt{w},\sqrt{z}\big)\) számpárokra:
\(\displaystyle \sqrt{xw}+\sqrt{yz} = \sqrt{x}\cdot\sqrt{w}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{z} \le \sqrt{\big(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\big)\big(\sqrt{w}^2+\sqrt{z}^2\big)} = \sqrt{(x+y)(w+z)\big)}. \)
Vegyük észre, hogy a baloldalon \(\displaystyle \sqrt{xw}+\sqrt{yz} = \frac{m}2+\frac{m}2 = m\), a jobboldalon pedig éppen \(\displaystyle \sqrt{(x+y)(w+z)\big)}=\sqrt{AB\cdot CD}\) áll. Tehát,
\(\displaystyle m \le \sqrt{AB\cdot CD}. \)
Végül megvizsgáljuk, hogy milyen trapézok esetén áll egyenlőség. A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz egyenlőtlenségben akkor áll egyenlőség, ha \(\displaystyle \sqrt{x}:\sqrt{w}=\sqrt{y}:\sqrt{z}\). Mint láttuk, \(\displaystyle \sqrt{xw}=\sqrt{yz}\); a két relációból azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle x = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{w}}\cdot\sqrt{xw} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}}\cdot\sqrt{yz} = y, \)
és
\(\displaystyle w = \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{xw} = \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{y}}\cdot\sqrt{yz} = z, \)
vagyis egyenlőség csak úgy lehet, ha a trapéz szimmetrikus. Ha pedig a trapéz szimmetrikus, akkor valóban egyenlőség áll, mert
\(\displaystyle m = 2\sqrt{xw} = \sqrt{2x \cdot 2w} = \sqrt{(x+y)\cdot(z+w)} = \sqrt{AB\cdot CD}. \)
Tehát a bizonyítandó egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll egyenlőség, ha a trapéz szimmetrikus.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021