Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5189. feladat (2021. szeptember)

B. 5189. Adott egy szabályos háromszög alapú egyenes gúla, az alapéle \(\displaystyle a\). Legyen a beírt gömb sugara \(\displaystyle r\), az alapot érintő hozzáírt gömb sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a^2=12rR\).

Javasolta: László Lajos (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a gúla alaplapja \(\displaystyle ABC\), a negyedik csúcsa \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle BC\) él felezőpontja \(\displaystyle F\), a beírt gömb középpontja \(\displaystyle I\), az alaplaphoz hozzáírt gömb középpontja \(\displaystyle J\), a gömbök közös érintési pontja, egyben az alaplap középpontja \(\displaystyle T\), végül a két gömb érintési pontjai a \(\displaystyle BCD\) síkon \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\). Az ábra szimmetrikus az \(\displaystyle ADF\) síkra, amely egyben a \(\displaystyle BC\) szakasz felező merőleges síkja is, ezért az \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\), \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontok is ebben a síkban vannak. A sík a két gömböt egy-egy főkörük mentén metszi; ezek a \(\displaystyle DF\) félegyenesnek azonos, az \(\displaystyle AF\) szakasznak ellentétes oldalán fekszenek az \(\displaystyle ADF\) síkban. A két körnek a \(\displaystyle DF\) egyenes az egyik külső, az \(\displaystyle AF\) szakasz pedig az egyik belső közös érintője.

Az \(\displaystyle FI\) és az \(\displaystyle FJ\) szakasz felezi a \(\displaystyle TFU\), illetve a \(\displaystyle TFV\) szöget, ezért \(\displaystyle IFJ\sphericalangle=90^\circ\); az \(\displaystyle FIJ\) egy derékszögű háromszög, amelynek átfogóhoz tartozó magassága az \(\displaystyle FT\) szakasz. Az átfogó két darabja \(\displaystyle FI=r\), illetve \(\displaystyle FJ=R\). Az \(\displaystyle a\) oldalú, szabályos \(\displaystyle ABC\) háromszög magassága \(\displaystyle AF=\frac{\sqrt3}2a\), ezt a \(\displaystyle T\) közép-, egyben súlypont harmadolja, tehát \(\displaystyle FT=\frac13AF=\frac{a}{2\sqrt3}\).

Ezek után írjuk fel a magasságtételt az \(\displaystyle FIJ\) háromszögben:

\(\displaystyle FT^2 = FI\cdot FJ,\)

\(\displaystyle \left(\frac{a}{2\sqrt3}\right)^2 = rR; \)

átrendezve

\(\displaystyle a^2=12rR. \)


Statisztika:

A B. 5189. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai