Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5193. feladat (2021. október)

B. 5193. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle BCA\sphericalangle=45^{\circ}\), a magasságok talppontjai a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), a háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Tudjuk, hogy az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle AB\) szakaszt \(\displaystyle {AF}:{FB}={2}:{3}\) arányban osztja. Az \(\displaystyle AC\) oldalon megjelöljük azt a \(\displaystyle G\) pontot, amelyre \(\displaystyle CG=BM\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABG\) háromszög súlypontja \(\displaystyle M\).

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-nél fekvő szöge \(\displaystyle 45^{\circ}\), a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok magasságok talppontjai, így \(\displaystyle CBE\sphericalangle=DAC\sphericalangle=45^{\circ}\). A \(\displaystyle BMGC\) négyszög \(\displaystyle BC\) oldalon fekvő szögei \(\displaystyle 45^{\circ}\)-osak, továbbá \(\displaystyle BM=CG\), tehát a négyszög szimmetrikus trapéz. A trapéz \(\displaystyle G\)-nél fekvő külső szöge, az \(\displaystyle AGM\sphericalangle=45^{\circ}\). Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle AGM\) egyenlő szárú háromszög, azaz \(\displaystyle BE\) súlyvonala az \(\displaystyle ABG\) egyenlő szárú háromszögnek. A bizonyítás befejezéséhez elegendő megmutatni, hogy az \(\displaystyle M\) pont harmadolja az \(\displaystyle EB\) szakaszt.

A szögek alapján \(\displaystyle EM=AE\). Az \(\displaystyle EMC\) és \(\displaystyle EAB\) derékszögű háromszögekben egy-egy befogó és a velük szemközti szög is egyforma, a két háromszög egybevágó, vagyis \(\displaystyle MC=AB\). Szintén a szögek alapján az is igaz, hogy \(\displaystyle AEB\bigtriangleup \sim AFC\bigtriangleup\). Írjuk fel az eddigi megállapítások felhasználásával az \(\displaystyle EM\) és \(\displaystyle EB\) szakaszok \(\displaystyle x\) arányát:

\(\displaystyle x=\frac{EM}{EB}=\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=\frac{AF}{AB+MF}.\)

Az \(\displaystyle AEB\) és \(\displaystyle MFB\) derészögű háromszögek hasonlósága alapján pedig:

\(\displaystyle x=\frac{EM}{EB}=\frac{EA}{EB}=\frac{MF}{FB}\)

is teljesül. Ezzel kiegészítve a fentebbi gondolatmenetet:

\(\displaystyle x=\frac{AF}{AB+MF}=\frac{AF}{AB+xBF}=\frac{\frac{2}{2}AB}{AB+x\cdot \frac{3}{5}AB}.\)

Most az \(\displaystyle AB\)-vel egyszerűsítve rendezés után \(\displaystyle x\)-re másodfokú egyenletet kapunk:

\(\displaystyle x=\frac{2}{5+3x}, \)

\(\displaystyle 3x^2+5x-2=0.\)

Az egyenlet pozitív gyöke \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\).

Beláttuk, hogy az \(\displaystyle M\) pont az \(\displaystyle ABG\) egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságának harmadolópontja, tehát valóban a súlypont.


Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:57 versenyző.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai