Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5194. feladat (2021. október)

B. 5194. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CAB\sphericalangle\). Az \(\displaystyle AB\) oldal a beírt kört az \(\displaystyle E\) pontban érinti, a \(\displaystyle C\)-ből induló szögfelezőt az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle AF=2BE\).

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei a szokásos módon \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\); a feltétel szerint \(\displaystyle \beta=2\alpha\). Legyen az \(\displaystyle AB\) oldalhoz hozzáírt kör középontja \(\displaystyle J\), és a hozzáírt kör érintési pontja az \(\displaystyle AB\) oldalon \(\displaystyle E_1\). Jól ismert, hogy \(\displaystyle AE_1=BE=s-b\), ahol \(\displaystyle b=AC\) és \(\displaystyle s\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög félkerülete.

Az \(\displaystyle A\)-nál levő szögek összeszámolásából

\(\displaystyle JAF\angle = \dfrac{180^\circ-BAC\angle}{2} = 90^\circ-\dfrac\alpha2, \)

az \(\displaystyle AFC\) háromszög szögeiből

\(\displaystyle AFJ\angle = FAC\angle+ACF\angle = \alpha+\dfrac\gamma2 = \dfrac\beta2+\bigg(90^\circ-\dfrac\alpha2-\dfrac\beta2\bigg) = 90^\circ-\dfrac\alpha2 = JAF\angle. \)

Tehát \(\displaystyle AFJ\angle=JFA\); a \(\displaystyle JFA\) háromszög egyenlő szárú, ezért

\(\displaystyle AF = 2AE_1 = 2BE. \)


Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:64 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai