A B. 5198. feladat (2021. november)

B. 5198. Ha az asztalom tetejére teszem a teknősömet, akkor a földön álló macskám fejéhez képest a teknős feje 70 cm-rel van feljebb. Ha a macskámat teszem az asztal tetejére, akkor a földön álló kutyám fejéhez képest 80 cm-rel lesz magasabban a macska feje. Ha pedig a kutyámat teszem az asztalra, akkor a földön álló teknőshöz képest 120 cm-rel lesz magasabban a kutya feje. Hány cm magas az asztalom?

Kocsis Szilveszter (Budapest) ötlete alapján

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az asztal magasságát \(\displaystyle a\), míg a földre állított teknős, macska, ill. kutya magasságát pedig \(\displaystyle t,m\), ill. \(\displaystyle k\) (egyaránt cm-ben mérve). Ekkor a feladat szövege alapján felírhatjuk a következő egyenleteket:

\(\displaystyle a + t = m + 70,\)

\(\displaystyle a + m = k + 80,\)

\(\displaystyle a + k = t + 120.\)

A három egyenletet összeadva: \(\displaystyle 3a + t + m + k = m + k +t + 270\), azaz \(\displaystyle 3a=270\), tehát \(\displaystyle a = 90\). Az asztal 90 cm magas.

Megjegyzések 1. A fenti gondolatmenet egyenletek nélkül is elmondható. Képzeletben tegyünk három egyforma asztalt egymás fölé. A földszintre és a legfelső szintre (,,3. emeletre'') állítsunk egy-egy teknőst, az 1. emeletre egy kutyát, a 2. emeletre pedig egy macskát. Ekkor a fenti teknős feje éppen \(\displaystyle 70 + 80 + 120 = 270\) cm-rel van magasabban a lenti teknős fejénél. Másrészt viszont éppen 3 asztalnyival került feljebb, tehát egy asztal magassága \(\displaystyle 270/3 = 90\) cm kell legyen.

2. Az állatok magassága nem állapítható meg egyértelműen a feladat adataiból. A teknős bármilyen \(\displaystyle h\) (pozitív) magasságú lehet, ha a macska \(\displaystyle h + 20\), míg a kutya \(\displaystyle h+30\) magasságú (cm-ben mérve).

Statisztika:

213 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	201 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai