A B. 5200. feladat (2021. november)

B. 5200. Az \(\displaystyle A_0A_1=1\) átmérőjű félkörvonalon felvesszük az \(\displaystyle A_2\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle A_0A_1A_2\sphericalangle=1^\circ\). Ezután a körvonal \(\displaystyle A_1A_2\) ívén felvesszük az \(\displaystyle A_3\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle A_1A_2A_3\sphericalangle=2^\circ\). Ezt folytatjuk a következők szerint: az \(\displaystyle A_{k+1}\) pontot a körvonal \(\displaystyle A_{k-1}A_k\) ívén választjuk úgy, hogy \(\displaystyle A_{k-1}A_kA_{k+1}\) szög \(\displaystyle k\) fok (\(\displaystyle k=3,4,\ldots,9\)). Milyen hosszú az \(\displaystyle A_9A_{10}\) szakasz? (Az ábra tájékoztató jellegű.)

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Kössük össze az \(\displaystyle A_i\) pontokat a félkörvonal \(\displaystyle O\) középpontjával, és vezessük be az \(\displaystyle OA_iA_{i+1}\angle=\beta_i\) jelölést. Világos, hogy \(\displaystyle \beta_1=1^\circ\). Továbbá mivel az \(\displaystyle OA_iA_{i+1}\triangle\) egyenlő szárú, így

\(\displaystyle \beta_{i+1}=OA_{i+1}A_{i+2}\angle=OA_{i+1}A_{i}\angle+A_iA_{i+1}A_{i+2}\angle=\beta_i+(i+1)^\circ\qquad (i=1,2,\ldots,8).\)

Ezt nyolcszor alkalmazva \(\displaystyle \beta_9=45^\circ\), tehát \(\displaystyle OA_9A_{10}\) derékszögű egyenlő szárú háromszög. Végül Pitagorasz-tétellel \(\displaystyle A_9A_{10}=\sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2}=\sqrt 2/2\) adódik.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	76 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai