Problem B. 5201. (November 2021)

B. 5201. Let \(\displaystyle 1=d_1<d_2<\dots<d_k=n\) be the divisors of a positive integer \(\displaystyle n\). Determine those composite numbers \(\displaystyle n\) for which the numbers \(\displaystyle d_1\), \(\displaystyle d_1+d_2\), \(\displaystyle d_1+d_2+d_3\), \(\displaystyle \dots,\) \(\displaystyle d_1+d_2+\dots+d_{k-1}\) all divide \(\displaystyle n\).

Proposed by Cs. Sándor, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Mivel \(\displaystyle n\) összetett szám, ezért osztóinak számára \(\displaystyle k\geq 3\) teljesül.

Mivel \(\displaystyle d_1, d_1+d_2, d_1+d_2+d_3, \dots,d_1+d_2+\dots+d_{k-1}\) az osztók egy \(\displaystyle k-1\) hosszú szigorúan növekvő sorozata, ezért egy kivétellel mindegyik osztó szerepel köztük. Mivel \(\displaystyle d_1<d_2<d_1+d_2\), így a kimaradó osztó csak \(\displaystyle d_2\) lehet. Ekkor viszont a \(\displaystyle d_3=d_1+d_2\), \(\displaystyle d_4=d_1+d_2+d_3\), ..., \(\displaystyle d_k=d_1+d_2+\dots+d_{k-1}\) egyenletek mind teljesülnek.

Mivel \(\displaystyle d_3=d_2+1\), ezért a \(\displaystyle d_2\) és \(\displaystyle d_3\) osztók valamelyike páros, így \(\displaystyle n\) is az. Ez viszont azt jelenti, hogy csak \(\displaystyle d_2=2\) lehet. Ekkor \(\displaystyle d_3=d_1+d_2=3\), így \(\displaystyle 6\mid n\) alapján \(\displaystyle k\geq 4\), és \(\displaystyle d_4=d_1+d_2+d_3=6\). Az \(\displaystyle n=6\) valóban megoldást ad. Ha viszont \(\displaystyle k>4\), akkor \(\displaystyle d_5=d_1+d_2+d_3+d_4=1+2+3+6=12\) lenne, de ekkor a 4 is az \(\displaystyle n\) osztója lenne, ami ellentmondás. Tehát egyetlen megoldás van: \(\displaystyle n=6\).

2. megoldás. Az előző megoldás alapján \(\displaystyle d_1=1\), \(\displaystyle d_2=2\), \(\displaystyle d_3=3\). Mivel \(\displaystyle i\geq 4\) esetén \(\displaystyle d_i=(d_1+d_2+\dots+d_{i-2})+d_{i-1}=2d_{i-1}\), ezért \(\displaystyle n=d_k=2^{k-3}\cdot 3\). Az \(\displaystyle n\) szám osztóinak számára tehát teljesül, hogy \(\displaystyle k=(k-3+1)(1+1)=2(k-2)\). Ebből kapjuk, hogy \(\displaystyle k=4\) és így \(\displaystyle n=6\), ami valóban megoldást ad.

3. megoldás. Az 1. megoldásban láttuk, hogy \(\displaystyle n\) páros és \(\displaystyle d_1+d_2+\dots+d_{k-1}=d_k=n\). Tehát \(\displaystyle n\) egy páros tökéletes szám. Ismert, hogy a páros tökéletes számok \(\displaystyle n=2^{p-1}(2^{p}-1)\) alakúak, ahol \(\displaystyle 2^p-1\) egy Mersenne-prím. Ha \(\displaystyle p=2\), akkor megkapjuk az \(\displaystyle n=6\) megoldást, ha viszont \(\displaystyle p>2\) lenne, akkor harmadik legkisebb osztója a 4 lenne, ami \(\displaystyle d_3=1+2=3\) alapján ellentmondás.

Statistics:

132 students sent a solution.
4 points:	72 students.
3 points:	40 students.
2 points:	12 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021