Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5202. feladat (2021. november)

B. 5202. Két racionális számot ismerősnek nevezünk, ha van olyan \(\displaystyle p/q\), illetve \(\displaystyle r/s\) alakjuk (\(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) egészek), amelyekre \(\displaystyle |ps-qr|=1\). Hány közös ismerőse lehet két ismerős racionális számnak?

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a/b\) és \(\displaystyle c/d\) ismerős racionális számok, melyekre \(\displaystyle ad-bc=1\). (\(\displaystyle a/b\) és \(\displaystyle c/d\) szerepe felcserélhető, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle ad-bc\) értéke 1, és nem \(\displaystyle -1\).)

Legyen \(\displaystyle u/v\) egy közös ismerősük. Ekkor egyrészt

\(\displaystyle av-bu=\alpha\in \{\pm 1\},\)

másrészt

\(\displaystyle cv-du=\beta\in \{\pm 1\}.\)

A két egyenlet megfelelő kombinációját véve meghatározzuk előbb \(\displaystyle v\), majd \(\displaystyle u\) értékét:

\(\displaystyle \alpha d-\beta b=d(av-bu)-b(cv-du)=(ad-bc)v=v,\)

\(\displaystyle \alpha c-\beta a=c(av-bu)-a(cv-du)=(ad-bc)u=u.\)

Tehát egy \(\displaystyle u/v\) közös ismerősre teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{\alpha c-\beta a}{\alpha d-\beta b},\)

ahol \(\displaystyle \alpha,\beta\in \{\pm 1\}\).

Ez négy lehetőség, azonban

\(\displaystyle \frac{(-\alpha) c-(-\beta) a}{(-\alpha) d-(-\beta) b}=\frac{\alpha c-\beta a}{\alpha d-\beta b}\)

alapján két-két esetben biztosan ugyanaz az \(\displaystyle u/v\) szám adódik.

Tehát két ismerős racionális számnak legfeljebb két közös ismerőse lehet. Megmutatjuk, hogy lehet két közös ismerős.

Vegyük például az \(\displaystyle a/b=1/2\) és \(\displaystyle c/d=2/3\) racionális számokat, melyek ismerősök. Az \(\displaystyle \alpha=\beta=1\) választással kapott

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{ c- a}{ d- b}=1/1=1\)

és az \(\displaystyle \alpha =1,\beta=-1\) választással kapott

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{ c+ a}{ d+ b}=3/5\)

számokról könnyen ellenőrizhető, hogy valóban az \(\displaystyle 1/2\) és \(\displaystyle 2/3\) közös ismerősei.

Tehát két ismerős racionális számnak legfeljebb két közös ismerőse lehet.

Megjegyzés. Farey-törtekről, és ezen belül Farey-szomszédokról (ami a feladatbeli ismeretségnek felel meg) például itt olvashatunk. Érdemes megemlíteni még az úgy nevezett Ford-köröket, melyekről itt olvashatunk.


Statisztika:

A B. 5202. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai