Problem B. 5202. (November 2021)

B. 5202. Two rational numbers are said to be acquainted to each other if they can be represented in the forms \(\displaystyle p/q\) and \(\displaystyle r/s\), respectively (\(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) are integers), such that \(\displaystyle |ps-qr|=1\). If two rational numbers are acquainted to each other, how many common acquaintances may they have?

Proposed by Sz. Kocsis, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a/b\) és \(\displaystyle c/d\) ismerős racionális számok, melyekre \(\displaystyle ad-bc=1\). (\(\displaystyle a/b\) és \(\displaystyle c/d\) szerepe felcserélhető, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle ad-bc\) értéke 1, és nem \(\displaystyle -1\).)

Legyen \(\displaystyle u/v\) egy közös ismerősük. Ekkor egyrészt

\(\displaystyle av-bu=\alpha\in \{\pm 1\},\)

másrészt

\(\displaystyle cv-du=\beta\in \{\pm 1\}.\)

A két egyenlet megfelelő kombinációját véve meghatározzuk előbb \(\displaystyle v\), majd \(\displaystyle u\) értékét:

\(\displaystyle \alpha d-\beta b=d(av-bu)-b(cv-du)=(ad-bc)v=v,\)

\(\displaystyle \alpha c-\beta a=c(av-bu)-a(cv-du)=(ad-bc)u=u.\)

Tehát egy \(\displaystyle u/v\) közös ismerősre teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{\alpha c-\beta a}{\alpha d-\beta b},\)

ahol \(\displaystyle \alpha,\beta\in \{\pm 1\}\).

Ez négy lehetőség, azonban

\(\displaystyle \frac{(-\alpha) c-(-\beta) a}{(-\alpha) d-(-\beta) b}=\frac{\alpha c-\beta a}{\alpha d-\beta b}\)

alapján két-két esetben biztosan ugyanaz az \(\displaystyle u/v\) szám adódik.

Tehát két ismerős racionális számnak legfeljebb két közös ismerőse lehet. Megmutatjuk, hogy lehet két közös ismerős.

Vegyük például az \(\displaystyle a/b=1/2\) és \(\displaystyle c/d=2/3\) racionális számokat, melyek ismerősök. Az \(\displaystyle \alpha=\beta=1\) választással kapott

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{ c- a}{ d- b}=1/1=1\)

és az \(\displaystyle \alpha =1,\beta=-1\) választással kapott

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{ c+ a}{ d+ b}=3/5\)

számokról könnyen ellenőrizhető, hogy valóban az \(\displaystyle 1/2\) és \(\displaystyle 2/3\) közös ismerősei.

Tehát két ismerős racionális számnak legfeljebb két közös ismerőse lehet.

Megjegyzés. Farey-törtekről, és ezen belül Farey-szomszédokról (ami a feladatbeli ismeretségnek felel meg) például itt olvashatunk. Érdemes megemlíteni még az úgy nevezett Ford-köröket, melyekről itt olvashatunk.

Statistics:

68 students sent a solution.
5 points:	Ben Gillott, Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Egyházi Hanna, Fajszi Karsa, Farkas 512 Izabella, Fazokán Marcell, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Jánosik Máté, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, László Anna, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Móricz Benjámin, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Németh Norbert Marcell, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Sebestyén József Tas, Simon László Bence, Szabó 810 Levente, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tichy Márk, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
4 points:	Bálint Béla, Baski Bence, Csilling Dániel, Csonka Illés, Horváth 530 Mihály, Juhász-Molnár Erik, Koltai Csaba Ferenc, Mizik Lóránt, Szőcs András , Tran Dávid.
3 points:	3 students.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021