Problem B. 5204. (November 2021)
B. 5204. Let \(\displaystyle 1\le a, b, c, d\le 4\) denote real numbers. Prove that
\(\displaystyle 16\le (a+b+c+d)\left(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d\right)\le 25. \)
Proposed by J. Szoldatics, Budapest
(6 pont)
Deadline expired on December 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséget alkalmazva az \(\displaystyle a,b,c,d\), majd az \(\displaystyle 1/a,1/b,1/c,1/d\) pozitív számokra, kapjuk, hogy
\(\displaystyle \sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}\)
és
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{abcd}}\leq \frac{\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d}{4}.\)
A két egyenlőtlenséget összeszorozva adódik a
\(\displaystyle 16\leq \left(a+b+c+d\right)\left(\dfrac{1}a+\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right)\)
becslés. (Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha mindkét számtani-mértani egyenlőtlenségnél egyenlőség teljesül, azaz, ha \(\displaystyle a=b=c=d\).)
Térjünk rá a felső becslés igazolására. Legyen
\(\displaystyle f(a,b,c,d):=\left(a+b+c+d\right)\left(\dfrac{1}a+\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right).\)
Tekintsünk egy tetszőleges \(\displaystyle a,b,c,d\) négyest, melyre \(\displaystyle 1\leq a,b,c,d\leq 4\) teljesül. Rögzítsük először \(\displaystyle b,c,d\) értékét. Az
\(\displaystyle x\to (x+b+c+d)\left(\dfrac{1}x+\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right)=\left(\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right)x+(b+c+d)\cdot \frac1x+1+(b+c+d)\left(\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right)\)
függvény az \(\displaystyle [1,4]\) intervallumon szigorúan konvex, hiszen a szigorúan konvex \(\displaystyle (b+c+d)\cdot \frac1x\) és a konvex \(\displaystyle \left(\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right)x+1+(b+c+d)\left(\dfrac{1}b+\dfrac{1}c+\dfrac{1}d\right)\) függvények összege. Így maximumát valamelyik végpontban, \(\displaystyle x=1\)-ben vagy \(\displaystyle x=4\)-ben veszi fel. Mindez azt jelenti, hogy ha \(\displaystyle 1<a<4\), akkor \(\displaystyle f(a,b,c,d)\) értéke nagyobb lesz, ha \(\displaystyle a\)-t 1-re vagy 4-re változtatjuk (attól függően, hogy hol van a maximum). Tehát feltehető, hogy \(\displaystyle a\in\{1,4\}\).
Ugyanezt elvégezhetjük \(\displaystyle b,c,d\) esetében is, így egy olyan állapothoz jutunk, ahol \(\displaystyle a,b,c,d\) mindegyike 1 vagy 4, és ha legalább egyszer változtattunk valamelyikük értékén, akkor \(\displaystyle f(a,b,c,d)\) nagyobb lett, mint eredetileg volt.
Ha most \(\displaystyle a,b,c,d\) között az egyesek száma rendre \(\displaystyle 0,1,2,3,4\), akkor \(\displaystyle f(a,b,c,d)\) értéke (melyet behelyettesítéssel kapunk) rendre \(\displaystyle 16;\ 22,75;\ 25;\ 22,75; 16\). Így \(\displaystyle f(a,b,c,d)\) maximuma a 25, melyet pontosan akkor vesz fel, ha \(\displaystyle a,b,c,d\) közül két szám értéke 1, a másik kettőé pedig 4.
Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Alternatív bizonyítás a felső becslésre. Az \(\displaystyle [1,4]\) intervallumban az \(\displaystyle 1/x\) függvény szigorúan konvex. Becsüljük felülről a függvényt az \(\displaystyle (1,1)\) és \(\displaystyle (4,\frac14)\) pontokat összekötő húrjával:
\(\displaystyle \dfrac1x\le\dfrac54-\dfrac14x. \)
Ezt \(\displaystyle a,b,c,d\) mindegyikére felírva,
| \(\displaystyle \dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d \le 5-\dfrac14(a+b+c+d); \) | \(\displaystyle (1) \) |
egyenlőség csak akkor lehet, ha \(\displaystyle a,b,c,d\) mindegyike \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 4\).
A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget is alkalmazva az \(\displaystyle \frac14(a+b+c+d)\) és \(\displaystyle 5-\frac14(a+b+c+d)\) számokra,
| \(\displaystyle \left(\dfrac14(a+b+c+d)\right) \cdot \left(5-\dfrac14(a+b+c+d)\right) \le \left(\dfrac52\right)^2 = \frac{25}4; \) | \(\displaystyle (2) \) |
itt akkor áll egyenlőség, ha \(\displaystyle \frac14(a+b+c+d)\) és \(\displaystyle 5-\frac14(a+b+c+d)\) megegyezik, vagyis \(\displaystyle a+b+c+d=10\).
Az (1) és (2) becsléseket kombinálva,
\(\displaystyle (a+b+c+d)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d\right) \le 4\cdot\frac14(a+b+c+d)\cdot\left(5-\dfrac14(a+b+c+d)\right) \le 4\cdot\dfrac{25}4 = 25. \)
Egyenlőség akkor lép fel, ha (1)-ben és (2)-ben is egyenlőség áll, tehát \(\displaystyle a,b,c,d\) mindegyike \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 4\), és az összegük \(\displaystyle 10\), vagyis \(\displaystyle a,b,c,d\) közül valamelyik kettő értéke \(\displaystyle 1\), a másik kettő értéke \(\displaystyle 4\).
Statistics:
111 students sent a solution. 6 points: 52 students. 5 points: 11 students. 4 points: 18 students. 3 points: 24 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021