Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5210. feladat (2021. december)

B. 5210. A \(\displaystyle \mathcal{P}_1\), \(\displaystyle \mathcal{P}_2\) és \(\displaystyle \mathcal{P}_3\) parabolák fókuszpontja közös, bármely kettő közülük pontosan kettő pontban metszi egymást. A \(\displaystyle \mathcal{P}_i\) és \(\displaystyle \mathcal{P}_j\) parabolák két metszéspontjára illeszkedő egyenest jelölje \(\displaystyle e_{ij}\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle e_{12}\), \(\displaystyle e_{13}\) és \(\displaystyle e_{23}\) egyenesek illeszkednek egy közös pontra.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is felidézzük a parabola szokásos definícióját: Legyen adott egy \(\displaystyle v\) egyenes és egy rá nem illeszkedő \(\displaystyle F\) pont a síkon. Azon pontok mértani helyét a síkon, amelyeknek a \(\displaystyle v\)-től és \(\displaystyle F\)-től vett távolsága egyenlő, \(\displaystyle v\) vezéregyenesű és \(\displaystyle F\) fókuszpontú parabolának nevezzük.

Legyen a \(\displaystyle \mathcal P_1\), \(\displaystyle \mathcal P_2\) és \(\displaystyle \mathcal P_3\) parabolák közös fókusza \(\displaystyle F\), vezéregyeneseik rendre \(\displaystyle v_1\), \(\displaystyle v_2\) és \(\displaystyle v_3\).

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \mathcal P_i\) és \(\displaystyle \mathcal P_j\) bármely \(\displaystyle X\) metszéspontjára \(\displaystyle d(X, v_i)=d(X,F)=d(X,v_j)\) teljesül, azaz \(\displaystyle X\) illeszkedik \(\displaystyle v_i\) és \(\displaystyle v_j\) valamely szögfelezőjére vagy \(\displaystyle v_i\parallel v_j\) esetben az egyenesek középpárhuzamosára.

Először tegyük fel, hogy a vezéregyenesek között nincsenek párhuzamosak. Mivel egy parabola teljes egészében benne van a vezéregyeneséhez tartozó félsíkok egyikében, így \(\displaystyle \mathcal P_i\) és \(\displaystyle \mathcal P_j\) két metszéspontja szükségképpen \(\displaystyle v_i\) és \(\displaystyle v_j\) ugyanazon \(\displaystyle f_{ij}\) szögfelezőjén van; ezen szögfelező pontosan ahhoz a \(\displaystyle v_i\) és \(\displaystyle v_j\) által meghatározott szögtartományhoz tartozik, amely tartalmazza az \(\displaystyle F\) fókuszpontot. Az \(\displaystyle f_{12}\) és \(\displaystyle f_{13}\) szögfelezők egy olyan \(\displaystyle M\) pontban metszik egymást, amely mindhárom vezéregyenestől egyenlő távol van, és mindhárom vezéregyenesre nézve partos az \(\displaystyle F\) ponttal (azaz az \(\displaystyle MF\) szakasz nem metszi egyik vezéregyenest sem). Az eddigiek szerint \(\displaystyle M\) illeszkedik \(\displaystyle f_{23}\)-ra is.

Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle v_1\parallel v_2\). Ekkor \(\displaystyle F\) szükségképpen az általuk meghatározott sávban van, és a \(\displaystyle \mathcal P_1\) és \(\displaystyle \mathcal P_2\) parabolák metszéspontjai illeszkednek \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) középpárhuzamosára. Innen a bizonyítás az előző esettel analóg módon fejezhető be.

Ha mindhárom vezéregyenes párhuzamos, akkor könnyű belátni, hogy valamely két parabola nem metszi egymást, így ez az eset nem lehet.

Ezzel az állítást beláttuk.


Statisztika:

A B. 5210. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai