Problem B. 5210. (December 2021)

B. 5210. The parabolas \(\displaystyle \mathcal{P}_1\), \(\displaystyle \mathcal{P}_2\) and \(\displaystyle \mathcal{P}_3\) have the same focus, and any two of them intersect at exactly two points. Let \(\displaystyle e_{ij}\) denote the line passing through the two intersections of the parabolas \(\displaystyle \mathcal{P}_i\) and \(\displaystyle \mathcal{P}_j\). Show that the lines \(\displaystyle e_{12}\), \(\displaystyle e_{13}\) and \(\displaystyle e_{23}\) are concurrent.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is felidézzük a parabola szokásos definícióját: Legyen adott egy \(\displaystyle v\) egyenes és egy rá nem illeszkedő \(\displaystyle F\) pont a síkon. Azon pontok mértani helyét a síkon, amelyeknek a \(\displaystyle v\)-től és \(\displaystyle F\)-től vett távolsága egyenlő, \(\displaystyle v\) vezéregyenesű és \(\displaystyle F\) fókuszpontú parabolának nevezzük.

Legyen a \(\displaystyle \mathcal P_1\), \(\displaystyle \mathcal P_2\) és \(\displaystyle \mathcal P_3\) parabolák közös fókusza \(\displaystyle F\), vezéregyeneseik rendre \(\displaystyle v_1\), \(\displaystyle v_2\) és \(\displaystyle v_3\).

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \mathcal P_i\) és \(\displaystyle \mathcal P_j\) bármely \(\displaystyle X\) metszéspontjára \(\displaystyle d(X, v_i)=d(X,F)=d(X,v_j)\) teljesül, azaz \(\displaystyle X\) illeszkedik \(\displaystyle v_i\) és \(\displaystyle v_j\) valamely szögfelezőjére vagy \(\displaystyle v_i\parallel v_j\) esetben az egyenesek középpárhuzamosára.

Először tegyük fel, hogy a vezéregyenesek között nincsenek párhuzamosak. Mivel egy parabola teljes egészében benne van a vezéregyeneséhez tartozó félsíkok egyikében, így \(\displaystyle \mathcal P_i\) és \(\displaystyle \mathcal P_j\) két metszéspontja szükségképpen \(\displaystyle v_i\) és \(\displaystyle v_j\) ugyanazon \(\displaystyle f_{ij}\) szögfelezőjén van; ezen szögfelező pontosan ahhoz a \(\displaystyle v_i\) és \(\displaystyle v_j\) által meghatározott szögtartományhoz tartozik, amely tartalmazza az \(\displaystyle F\) fókuszpontot. Az \(\displaystyle f_{12}\) és \(\displaystyle f_{13}\) szögfelezők egy olyan \(\displaystyle M\) pontban metszik egymást, amely mindhárom vezéregyenestől egyenlő távol van, és mindhárom vezéregyenesre nézve partos az \(\displaystyle F\) ponttal (azaz az \(\displaystyle MF\) szakasz nem metszi egyik vezéregyenest sem). Az eddigiek szerint \(\displaystyle M\) illeszkedik \(\displaystyle f_{23}\)-ra is.

Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle v_1\parallel v_2\). Ekkor \(\displaystyle F\) szükségképpen az általuk meghatározott sávban van, és a \(\displaystyle \mathcal P_1\) és \(\displaystyle \mathcal P_2\) parabolák metszéspontjai illeszkednek \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) középpárhuzamosára. Innen a bizonyítás az előző esettel analóg módon fejezhető be.

Ha mindhárom vezéregyenes párhuzamos, akkor könnyű belátni, hogy valamely két parabola nem metszi egymást, így ez az eset nem lehet.

Ezzel az állítást beláttuk.

Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:	Balogh Ádám Péter, Baski Bence, Bencsik Dávid, Bencz Benedek, Bényei Borisz, Bognár 171 András Károly, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Dienes Ervin Fotisz, Dobák Bálint, Duchon Márton, Fajszi Karsa, Farkas 005 Bendegúz, Farkas 512 Izabella, Fazokán Marcell, Fekete Richárd, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Koltai Csaba Ferenc, Kovács Benedek Noel, László Anna, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 429 Leila, Németh Márton, Ottrok Barbara, Páhán Anita Dalma, Romaniuc Albert-Iulian, Seláf Bence, Simon László Bence, Sipeki Márton, Sipos Botond Örs, Somogyi Dalma, Tarján Bernát, Tekes János, Tichy Márk, Tóth 057 Bálint, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Zömbik Barnabás.
4 points:	7 students.
3 points:	11 students.
2 points:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2021