Problem B. 5211. (December 2021)
B. 5211. Solve the following equation over the set of positive integers:
\(\displaystyle 5^x-2^y=1. \)
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy az egyetlen megoldás \(\displaystyle x=1,\ y=2\). (Ekkor valóban \(\displaystyle 5^1-2^2=1\).)
Ha \(\displaystyle x>1\), akkor \(\displaystyle 5\mid 5^x=2^y+1\). A 2-hatványok 5-ös maradéka rendre \(\displaystyle 1,2,4,3\), és innen ciklikusan ismétlődik. Vagyis \(\displaystyle 5\mid 2^y+1\) csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle y=4k+2\) alakú valamely \(\displaystyle k\) nemnegatív egész számra. Ekkor
\(\displaystyle 5^x=2^y+1=2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}+1)^2-(2^{k+1})^2=(2^{2k+1}+2^{k+1}+1)(2^{2k+1}-2^{k+1}+1).\)
Ha \(\displaystyle k=0\), akkor az \(\displaystyle x=1,\ y=2\) megoldást kapjuk, ha \(\displaystyle k>0\), akkor \(\displaystyle 2^{2k+1}+2^{k+1}+1\) és \(\displaystyle 2^{2k+1}-2^{k+1}+1\) is 1-nél nagyobb egész számok. Ha szorzatuk 5-hatvány, akkor valamely \(\displaystyle \alpha,\beta\) pozitív egész kitevőkre
\(\displaystyle 2^{2k+1}+2^{k+1}+1=5^\alpha,\)
\(\displaystyle 2^{2k+1}-2^{k+1}+1=5^\beta.\)
A két egyenlet különbségét véve \(\displaystyle 2^{k+2}=5^\alpha-5^\beta\), ami ellentmondás, hiszen a bal oldalon álló kifejezés nem osztható 5-tel, a jobb oldalon álló viszont igen.
Tehát \(\displaystyle x=1,\ y=2\) az egyetlen megoldás.
2. megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy az egyetlen megoldás \(\displaystyle x=1,\ y=2\). (Ekkor valóban \(\displaystyle 5^1-2^2=1\).) Belátjuk, hogy \(\displaystyle 1<x\) esetén \(\displaystyle 5^x-1\) nem 2-hatvány (és így nem lehet egyenlő \(\displaystyle 2^y\)-nal). Indirekten tegyük fel, hogy ez nem igaz, és tekintsük a legkisebb olyan \(\displaystyle x>1\) számot, melyre az \(\displaystyle 5^x-1\) szám 2-hatvány. Ekkor \(\displaystyle x\) biztos prímszám, ellenkező esetben \(\displaystyle x\) egy \(\displaystyle p\) prímosztóját véve \(\displaystyle 5^p-1\mid 5^x-1\) (az \(\displaystyle 5^x-1=(5^p-1)(5^{x-p}+\dots+5^p+1)\) azonosság alapján), viszont \(\displaystyle 1<p<x\) és \(\displaystyle x\) minimalitása alapján \(\displaystyle 5^p-1\) nem 2-hatvány, de akkor \(\displaystyle 5^x-1\) sem lehetne az, hiszen az \(\displaystyle 5^p-1\) többszöröse. Tehát \(\displaystyle x\) prímszám.
Az \(\displaystyle 5^0=1,\ 5^1=5,\ 5^2,\ 5^3, \dots\) számok \(\displaystyle 2^y\)-nal vett osztási maradéka egy periodikus sorozatot alkot, ahol a periódus hossza a legkisebb olyan pozitív egész \(\displaystyle r\) szám, melyre \(\displaystyle 5^r\equiv 1 \pmod {2^y}\). Ilyen \(\displaystyle r\) biztosan létezik, hiszen például az Euler-Fermat tétel alapján \(\displaystyle 5^{2^{y-1}}\equiv 1\pmod {2^y}\). A periodicitás alapján \(\displaystyle 5^z\) pontosan akkor ad 1 maradékot \(\displaystyle 2^y\)-nal osztva, ha \(\displaystyle r\mid z\).
Tudjuk, hogy \(\displaystyle r\mid 2^{y-1}\) (az Euler-Fermat tétel alapján) és azt is, hogy \(\displaystyle r\mid x\) (hiszen \(\displaystyle 5^x=2^y+1\)). Így \(\displaystyle r\mid (2^{y-1},x)\). Mivel \(\displaystyle x\) prímszám, ezért vagy \(\displaystyle r=1\) vagy \(\displaystyle r=x=2\). Előbbi esetben \(\displaystyle 2^y\mid 5^1-1=4\), amiből \(\displaystyle y\leq 2\), itt \(\displaystyle y=1\) nem ad megoldást, \(\displaystyle y=2\) az \(\displaystyle x=1\) megoldást adja. Az \(\displaystyle r=x=2\) esetben pedig \(\displaystyle 5^x-1=24\), ami nem 2-hatvány.
Ellentmondásra jutottunk, ami azt jelenti, hogy valóban csak \(\displaystyle x=1,\ y=2\) ad megoldást.
3. megoldás. Ha \(\displaystyle x\) páros, \(\displaystyle x=2z\) valamilyen \(\displaystyle z\) pozitív egésszel, akkor \(\displaystyle 3\mid 25-1 \mid 25^z-1 = 2^y\), de ez nem lehetséges, egy \(\displaystyle 2\)-hatvány nem lehet osztható \(\displaystyle 3\)-mal.
Az \(\displaystyle x\) tehát csak páratlan lehet. A
\(\displaystyle 2^y = 5^x-1 = (5-1)(5^{x-1}+5^{x-2}+\ldots+5+1) \)
szorzatban a második tényező, \(\displaystyle 5^{x-1}+5^{x-2}+\ldots+5+1\) páratlan, mert \(\displaystyle x\) darab páratlan szám összege, ugyanakkor osztója a \(\displaystyle 2^y\)-nak. A \(\displaystyle 2^y\) egyetlen páratlan osztója az \(\displaystyle 1\), tehát ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle 5^{x-1}+5^{x-2}+\ldots+5+1=1\), tehát \(\displaystyle x=1\), és persze akkor \(\displaystyle y=2\).
Statistics:
118 students sent a solution. 5 points: 70 students. 4 points: 11 students. 3 points: 5 students. 2 points: 3 students. 1 point: 5 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 11 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2021