A B. 5214. feladat (2022. január)

B. 5214. A 110 egy olyan számjegysorozat, amelyet bármilyen 1-nél nagyobb pozitív egész alapú számrendszerben tekintve páros számot kapunk. Van-e olyan 1-esekből és 0-kból álló számjegysorozat, amelyet bármilyen 1-nél nagyobb pozitív egész alapú számrendszerben tekintve 3-mal osztható pozitív egész számot kapunk?

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Van ilyen számjegysorozat, például az \(\displaystyle 101010\). Ha a számrendszer alapja \(\displaystyle n\), akkor \(\displaystyle 101010_n = n^5 + n^3 + n\). Könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle n^5\) és \(\displaystyle n^3\) mindig ugyanazt a maradékot adja \(\displaystyle 3\)-mal osztva, mint \(\displaystyle n\) (végignézhetjük a három esetet, vagy hivatkozhatunk a kis Fermat-tételre), így az összegük osztható \(\displaystyle 3\)-mal.

De akár érvelhetünk így is: \(\displaystyle n^5+n^3+n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 6n^3 - 3n\), itt a jobb oldalon az első szorzat mindig tartalmaz 3-mal osztható tényezőt.

Néhány további alkalmas számjegysorozat: 1010100, 1111110, 10001010. Akkor és csak akkor lesz alkalmas egy számjegysorozat, ha a az utolsó számjegy 0 és a páros, ill. páratlan helyiértékeken szereplő 1-esek száma (külön-külön) osztható 3-mal.

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	84 versenyző.
2 pontot kapott:	34 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai