Problem B. 5214. (January 2022)

B. 5214. The sequence of digits 110 represents an even integer, whatever positive integer greater than 1 is the base of notation. Is there a sequence of digits 1 and 0 such that it represents a multiple of 3, whatever positive integer greater than 1 is the base of notation?

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Van ilyen számjegysorozat, például az \(\displaystyle 101010\). Ha a számrendszer alapja \(\displaystyle n\), akkor \(\displaystyle 101010_n = n^5 + n^3 + n\). Könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle n^5\) és \(\displaystyle n^3\) mindig ugyanazt a maradékot adja \(\displaystyle 3\)-mal osztva, mint \(\displaystyle n\) (végignézhetjük a három esetet, vagy hivatkozhatunk a kis Fermat-tételre), így az összegük osztható \(\displaystyle 3\)-mal.

De akár érvelhetünk így is: \(\displaystyle n^5+n^3+n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 6n^3 - 3n\), itt a jobb oldalon az első szorzat mindig tartalmaz 3-mal osztható tényezőt.

Néhány további alkalmas számjegysorozat: 1010100, 1111110, 10001010. Akkor és csak akkor lesz alkalmas egy számjegysorozat, ha a az utolsó számjegy 0 és a páros, ill. páratlan helyiértékeken szereplő 1-esek száma (külön-külön) osztható 3-mal.

Statistics:

133 students sent a solution.
3 points:	84 students.
2 points:	34 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022