Problem B. 5215. (January 2022)
B. 5215. Find all positive real numbers \(\displaystyle x\) for which \(\displaystyle x + \frac1{x}\) is an integer, and \(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3}\) is a prime number.
Based on the idea of B. and V. Szaszkó-Bogár
(4 pont)
Deadline expired on February 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha \(\displaystyle x + \frac1{x}=n\) pozitív egész, akkor négyzetre emelve \(\displaystyle x^2 + \frac1{x^2} + 2=n^2\), azaz \(\displaystyle x^2 + \frac1{x^2}=n^2-2\) is pozitív egész, ezért \(\displaystyle n>1\). A két egyenletet összeszorozva:
\(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3} + x + \frac1{x} = n^3-2n, \)
vagyis \(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3} = n^3-3n = n(n^2-3)\) két pozitív egész szorzata. Ez pontosan akkor prímszám, ha az egyik tényező 1, a másik pedig prím. Mivel \(\displaystyle n>1\), azért \(\displaystyle n^2-3=1\), és így \(\displaystyle n=2\). Tehát \(\displaystyle x + \frac1{x}=2\) alapján \(\displaystyle x=1\).
Statistics:
142 students sent a solution. 4 points: 125 students. 3 points: 7 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022