Problem B. 5216. (January 2022)

B. 5216. The tangents drawn to the circumscribed circle of a right triangle \(\displaystyle ABC\) at the right-angled vertex \(\displaystyle C\) and at another vertex \(\displaystyle A\) intersect at \(\displaystyle D\). Prove that the line \(\displaystyle BD\) bisects the altitude drawn from vertex \(\displaystyle C\).

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle O\) a körülírt kör középpontja; a Thálész-tétel szerint ez az \(\displaystyle AB\) átfogó felezőpontja, \(\displaystyle OA=OB=OC\). Legyen továbbá a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle AD\) és az \(\displaystyle BC\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle E\), végül a \(\displaystyle BD\) szakasz és a \(\displaystyle CT\) magasság metszéspontja \(\displaystyle F\). A feladat megoldásához azt kell igazolnunk, hogy az \(\displaystyle F\) pont felezi \(\displaystyle CT\)-t.

Az \(\displaystyle OCDA\) négyszögben \(\displaystyle DA=DC\) a körhöz húzott érintő szakaszok, illetve \(\displaystyle OA=OC\) a kör sugarai, ezért a négyszög deltoid; emiatt az \(\displaystyle OD\) átló merőlegesen felezi az \(\displaystyle AC\) átlót. A \(\displaystyle BC\) egyenes is merőleges \(\displaystyle AC\)-re, ezért \(\displaystyle OD\parallel BC\). Mivel az \(\displaystyle O\) pont felezi az \(\displaystyle AB\) átmérőt, a párhuzamos szelők tétele miatt a \(\displaystyle D\) pont is felezi az \(\displaystyle AE\) szakaszt.

Az \(\displaystyle AD\) érintő merőleges a kör \(\displaystyle OA\) sugarára, \(\displaystyle CT\) pedig az \(\displaystyle AB\) oldalhoz tartozó magasság, szintén merőleges \(\displaystyle AB\)-re, így \(\displaystyle AD\parallel CT\). Az \(\displaystyle AE\) szakaszt és \(\displaystyle D\) felezőpontját a \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle TC\) szakaszba és az \(\displaystyle F\) pontba kicsinyíthetjük, ezért \(\displaystyle F\) is felezi a \(\displaystyle TC\) szakaszt.

Megjegyzés. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle BD\) egyenes a \(\displaystyle B\) csúcsból induló szimmedián, a súlyvonalnak a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőre vonatkozó tükörképe. Az \(\displaystyle ABC\) és a \(\displaystyle CBT\) háromszög hasonlóságából könnyen leolvasható, hogy a két háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló súlyvonala szimmetrikus a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőre, vagyis a \(\displaystyle CBT\) háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló súlyvonala éppen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló szimmediánja.

Statistics:

91 students sent a solution.
3 points:	67 students.
2 points:	15 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022