A B. 5221. feladat (2022. január)

B. 5221. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). A háromszög köré írt kör az \(\displaystyle AEF\) kört az \(\displaystyle A\)-tól különböző \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle BFD\) kört a \(\displaystyle B\)-től különböző \(\displaystyle Q\), a \(\displaystyle CDE\) kört pedig a \(\displaystyle C\)-től különböző \(\displaystyle R\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DP\), \(\displaystyle EQ\) és \(\displaystyle FR\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Lovas Márton (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt állítjuk, hogy a \(\displaystyle DP\), \(\displaystyle EQ\) és \(\displaystyle FR\) egyenesek átmennek a beírt és a körülírt kör külső hasonlósági pontján. A pontok szerepének szimmetriája miatt elég ezt a \(\displaystyle DP\) egyenesre igazolnunk.

Legyen \(\displaystyle H\) a beírt és a körülírt kör külső hasonlósági pontja, és legyen \(\displaystyle X\) a körülírt kör \(\displaystyle A\)-val szemközti \(\displaystyle BC\) ívének felezőpontja. Azt fogjuk megmutatni, hogy az \(\displaystyle XD\) egyenes a \(\displaystyle P\) és a \(\displaystyle H\) ponton is átmegy; ebből állításunk azonnal következik.

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle X\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle P\) egy egyenesen van. Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle PBF\) és a \(\displaystyle PCE\) háromszögek hasonlók és azonos körüljárásúak: irányított (modulo \(\displaystyle 180^\circ\)) szögekkel számolva, a kerületi szögek tételéből

\(\displaystyle \angle(BF,PB) = \angle(AB,PB) = \angle(AC,PC) = \angle(CE,PC) \)

és

\(\displaystyle \angle(BF,FP) = \angle(AF,PF) = \angle(AE,PE) = \angle(CE,PE), \)

tehát a két háromszög szögei megegyeznek.

A \(\displaystyle PBF\) és \(\displaystyle PCE\) háromszögek azonos körüljárása miatt a \(\displaystyle P\) pont nem lehet a \(\displaystyle BAC\) szögtartomány belsejében, így \(\displaystyle P\) csak az \(\displaystyle A\)-t is tartalmazó \(\displaystyle CAB\) köríven lehet.

A hasonlóság, valamint \(\displaystyle BD=BF\) és \(\displaystyle CD=CE\) miatt \(\displaystyle \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{BF}{CE} = \dfrac{BD}{CD}\); a szögfelezőtétel megfordítása szerint a \(\displaystyle BCP\) háromszögben a \(\displaystyle PD\) szakasz felezi a \(\displaystyle BPC\) szöget; akkor viszont a \(\displaystyle PD\) félegyenes átmegy a \(\displaystyle P\)-vel átellenes, \(\displaystyle A\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle BC\) körív felezőpontján, az \(\displaystyle X\) ponton.

Végül megmutatjuk, hogy \(\displaystyle H\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle X\) is egy egyenesre esik. A \(\displaystyle H\) hasonlósági pontból a beírt kört a körülírt körbe nagyíthatjuk. A beírt kör \(\displaystyle D\)-beli érintője a \(\displaystyle BC\) egyenes, ez párhuzamos a körülírt kör \(\displaystyle X\)-beli érintőjével, és mindkét kör az érintőnek az \(\displaystyle A\)-t tartalmazó oldalán van. Ez viszont azt jelenti, hogy a nagyítás során a \(\displaystyle D\) pont képe éppen az \(\displaystyle X\). Ezért \(\displaystyle H\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle X\) egy egyenesen van.

Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle XD\) egyenesen van, tehát a \(\displaystyle PD\) egyenes átmegy a \(\displaystyle H\) ponton.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baski Bence, Bencsik Dávid, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Somogyi Dalma, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
5 pontot kapott:	Móricz Benjámin, Nagy 429 Leila, Németh Márton.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai