A B. 5222. feladat (2022. február)

B. 5222. Legyenek az \(\displaystyle A\) halmaz elemei azok a páros pozitív egészek, amelyeket 2-vel osztva a számjegyek összege 2-vel csökken, a \(\displaystyle B\) halmaz elemei pedig azok a pozitív egészek, melyeket 5-tel szorozva a számjegyek összege 5-tel nő. Adjuk meg az \(\displaystyle A\cap B\) és a \(\displaystyle B\setminus A\) halmazok elemszámát.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Világos, hogy egy egész szám számjegyeinek összege pontosan annyi, mint a 10-szeresének a számjegyeinek összege, így az \(\displaystyle A\) halmaz elemei azok a páros pozitív egészek, amelyeket 5-tel szorozva a számjegyek összege 2-vel csökken. Ebből azonnal látható, hogy \(\displaystyle A\cap B=\emptyset\), hiszen egyszerre biztosan nem tud 2-vel csökkenni és 5-tel nőni a számjegyek összege.

Mivel \(\displaystyle A\cap B=\emptyset\), ezért \(\displaystyle B\setminus A=B\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle B\)-nek végtelen sok eleme van. Ehhez elég találnunk egyetlen elemet, ugyanis egy \(\displaystyle B\)-beli elemet 10-zel szorozva (vagyis a végére egy 0-t írva) világos, hogy szintén \(\displaystyle B\)-beli elemet kapunk, ez a lépés pedig akárhányszor elvégezhető. Próbálgatással nem nehéz találni ilyen számot, például \(\displaystyle 17\in B\), mert a 17-ben 8, az \(\displaystyle 5\cdot 17=85\)-ben pedig 13 a számjegyek összege. Tehát \(\displaystyle 17,170,1700,\dots\) mind \(\displaystyle B\)-beli, így \(\displaystyle |B|=\infty\).

Tehát azt kaptuk, hogy az \(\displaystyle A\cap B\) halmaz elemszáma 0, míg \(\displaystyle B\setminus A\) elemszáma végtelen.

Megjegyzés. Amikor \(\displaystyle B\)-beli elemet keresünk, elég a \(\displaystyle 9k+8\) alakú számokat vizsgálnunk. A 9-es oszthatósági szabály alapján ugyanis \(\displaystyle b\in B\) esetén \(\displaystyle 5b\equiv b+5\pmod {9}\), amiből \(\displaystyle b\equiv 8\pmod {9}\). Így elég a \(\displaystyle 9k+8\) alakú számokat nézni, \(\displaystyle 8\notin B\), mert a 40 számjegyeinek összege 4-gyel kisebb, mint 8, viszont a 17 már jó.

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	73 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai