Problem B. 5222. (February 2022)

B. 5222. Let \(\displaystyle A\) denote the set of even positive integers for which the sum of the digits decreases by 2 if the number is halved. Let \(\displaystyle B\) denote the set of positive integers for which the sum of the digits increases by 5 if the number is multiplied by 5. What is the number of elements in the set \(\displaystyle A\cap B\) and in the set \(\displaystyle B\setminus A\)?

Proposed by T. Káspári, Paks

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Világos, hogy egy egész szám számjegyeinek összege pontosan annyi, mint a 10-szeresének a számjegyeinek összege, így az \(\displaystyle A\) halmaz elemei azok a páros pozitív egészek, amelyeket 5-tel szorozva a számjegyek összege 2-vel csökken. Ebből azonnal látható, hogy \(\displaystyle A\cap B=\emptyset\), hiszen egyszerre biztosan nem tud 2-vel csökkenni és 5-tel nőni a számjegyek összege.

Mivel \(\displaystyle A\cap B=\emptyset\), ezért \(\displaystyle B\setminus A=B\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle B\)-nek végtelen sok eleme van. Ehhez elég találnunk egyetlen elemet, ugyanis egy \(\displaystyle B\)-beli elemet 10-zel szorozva (vagyis a végére egy 0-t írva) világos, hogy szintén \(\displaystyle B\)-beli elemet kapunk, ez a lépés pedig akárhányszor elvégezhető. Próbálgatással nem nehéz találni ilyen számot, például \(\displaystyle 17\in B\), mert a 17-ben 8, az \(\displaystyle 5\cdot 17=85\)-ben pedig 13 a számjegyek összege. Tehát \(\displaystyle 17,170,1700,\dots\) mind \(\displaystyle B\)-beli, így \(\displaystyle |B|=\infty\).

Tehát azt kaptuk, hogy az \(\displaystyle A\cap B\) halmaz elemszáma 0, míg \(\displaystyle B\setminus A\) elemszáma végtelen.

Megjegyzés. Amikor \(\displaystyle B\)-beli elemet keresünk, elég a \(\displaystyle 9k+8\) alakú számokat vizsgálnunk. A 9-es oszthatósági szabály alapján ugyanis \(\displaystyle b\in B\) esetén \(\displaystyle 5b\equiv b+5\pmod {9}\), amiből \(\displaystyle b\equiv 8\pmod {9}\). Így elég a \(\displaystyle 9k+8\) alakú számokat nézni, \(\displaystyle 8\notin B\), mert a 40 számjegyeinek összege 4-gyel kisebb, mint 8, viszont a 17 már jó.

Statistics:

93 students sent a solution.
3 points:	73 students.
2 points:	12 students.
1 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022