Problem B. 5223. (February 2022)
B. 5223. Define the sequence \(\displaystyle \{a_n\}\) as follows:
\(\displaystyle a_1=-3,\qquad a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}\,. \)
Determine the value of \(\displaystyle a_{2022}\).
Proposed by T. Káspári, Paks
(3 pont)
Deadline expired on March 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány elemét a rekurziót használva:
\(\displaystyle a_1=-3,\quad a_2=5,\quad a_3=21,\quad a_4=45,\ \dots\)
Könnyen észrevehetjük, hogy az első négy elemre \(\displaystyle a_n=(2n-1)^2-4\) teljesül. Megmutatjuk, hogy ez \(\displaystyle 4<n\)-re is teljesül. Indukcióval látható, hogy valóban
\(\displaystyle a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}=4+(2n-1)^2-4+4(2n-1)=4n^2+4n-3=(2n+1)^2-4.\)
Tehát \(\displaystyle a_{2022}=(2\cdot 2022-1)^2-4=4043^2-4=16\,345\,845\).
Statistics:
130 students sent a solution. 3 points: 99 students. 2 points: 13 students. 1 point: 12 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022