Problem B. 5223. (February 2022)

B. 5223. Define the sequence \(\displaystyle \{a_n\}\) as follows:

\(\displaystyle a_1=-3,\qquad a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}\,. \)

Determine the value of \(\displaystyle a_{2022}\).

Proposed by T. Káspári, Paks

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány elemét a rekurziót használva:

\(\displaystyle a_1=-3,\quad a_2=5,\quad a_3=21,\quad a_4=45,\ \dots\)

Könnyen észrevehetjük, hogy az első négy elemre \(\displaystyle a_n=(2n-1)^2-4\) teljesül. Megmutatjuk, hogy ez \(\displaystyle 4<n\)-re is teljesül. Indukcióval látható, hogy valóban

\(\displaystyle a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}=4+(2n-1)^2-4+4(2n-1)=4n^2+4n-3=(2n+1)^2-4.\)

Tehát \(\displaystyle a_{2022}=(2\cdot 2022-1)^2-4=4043^2-4=16\,345\,845\).

Statistics:

130 students sent a solution.
3 points:	99 students.
2 points:	13 students.
1 point:	12 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022