Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5225. feladat (2022. február)

B. 5225. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-val szemközti oldala \(\displaystyle a\), beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), sugara \(\displaystyle \varrho\), a körülírt kör sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle \overline{AI}=R\), akkor az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a\).

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A szokásos jelölések szerint legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontjai a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle A_1,~B_1\) és \(\displaystyle C_1\) az ábra szerint.

Ismert, hogy a csúcsokból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok az ábra szerintiek. Az \(\displaystyle I\) pont a belső szögfelezők metszéspontja, emiatt \(\displaystyle BA_1I\Delta\cong BC_1I\Delta\) és \(\displaystyle CA_1I\Delta\cong CB_1I\Delta\). A \(\displaystyle BCI\) háromszög területe \(\displaystyle \frac{a\cdot \varrho}{2}\), így a \(\displaystyle BCB_1IA_1\) ötszög területe ennek kétszerese: \(\displaystyle a\cdot \varrho\).

Most meghatározzuk az \(\displaystyle AC_1IB_1\) négyszög területét. Ez a négyszög két egybevágó derékszögű háromszögból áll. A derékszögű háromszög átfogója a feltétel alapján \(\displaystyle R\). Az eredeti háromszög körülírt körének átmérője \(\displaystyle 2R\). Az \(\displaystyle AC_1IB_1\) kör átmérője \(\displaystyle R\), ennek megfelelően ez utóbbiban az \(\displaystyle \alpha\) kerületi szöghöz tartozó húr is fele lesz az eredeti körülírt körben az \(\displaystyle \alpha\)-hoz tartozó \(\displaystyle a\) hosszúságú húrnak. Így az \(\displaystyle AC_1IB_1\) deltoid egyik átlója \(\displaystyle \frac{a}{2}\), másik – erre merőleges – átlója \(\displaystyle R\), a deltoid területe \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}\). Az ötszög és deltoid területe együtt az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe: \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a\). Ezzel az állítást beláttuk.


Statisztika:

A B. 5225. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. februári matematika feladatai