Problem B. 5225. (February 2022)

B. 5225. The inscribed circle of triangle \(\displaystyle ABC\) is centred at \(\displaystyle I\) and has a radius \(\displaystyle \varrho\), the radius of the circumscribed circle is \(\displaystyle R\). Prove that if \(\displaystyle \overline{AI}=R\), then the area of the triangle \(\displaystyle ABC\) is \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a\), where \(\displaystyle a\) denotes the length of the side opposite to vertex \(\displaystyle A\).

Proposed by Sz. Kocsis, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szokásos jelölések szerint legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontjai a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle A_1,~B_1\) és \(\displaystyle C_1\) az ábra szerint.

Ismert, hogy a csúcsokból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok az ábra szerintiek. Az \(\displaystyle I\) pont a belső szögfelezők metszéspontja, emiatt \(\displaystyle BA_1I\Delta\cong BC_1I\Delta\) és \(\displaystyle CA_1I\Delta\cong CB_1I\Delta\). A \(\displaystyle BCI\) háromszög területe \(\displaystyle \frac{a\cdot \varrho}{2}\), így a \(\displaystyle BCB_1IA_1\) ötszög területe ennek kétszerese: \(\displaystyle a\cdot \varrho\).

Most meghatározzuk az \(\displaystyle AC_1IB_1\) négyszög területét. Ez a négyszög két egybevágó derékszögű háromszögból áll. A derékszögű háromszög átfogója a feltétel alapján \(\displaystyle R\). Az eredeti háromszög körülírt körének átmérője \(\displaystyle 2R\). Az \(\displaystyle AC_1IB_1\) kör átmérője \(\displaystyle R\), ennek megfelelően ez utóbbiban az \(\displaystyle \alpha\) kerületi szöghöz tartozó húr is fele lesz az eredeti körülírt körben az \(\displaystyle \alpha\)-hoz tartozó \(\displaystyle a\) hosszúságú húrnak. Így az \(\displaystyle AC_1IB_1\) deltoid egyik átlója \(\displaystyle \frac{a}{2}\), másik – erre merőleges – átlója \(\displaystyle R\), a deltoid területe \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}\). Az ötszög és deltoid területe együtt az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe: \(\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a\). Ezzel az állítást beláttuk.

Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:	Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Farkas 512 Izabella, Fülöp Csilla, Horváth 530 Mihály, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Páhán Anita Dalma, Richlik Bence, Romaniuc Albert-Iulian, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szalontai Júlia, Tichy Márk, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 points:	Bálint Béla, Ben Gillott, Csonka Illés, Dávid Dániel, Diószeghy Erzsébet, Máthé Gergely, Tarján Bernát, Tran Dávid.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022