Problem B. 5229. (February 2022)

B. 5229. Let \(\displaystyle a\ne 0\) be a real number, and let \(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) be a function, such that

\(\displaystyle f\big(x+f(y)\big) = f(x) + f(y) + ay \)

for all \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}\). Prove that \(\displaystyle f\) is additive, that is, \(\displaystyle f(x+y) = f(x) + f(y)\) for all \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}\).

Proposed by G. Stoica, Saint John, New Brunswick, Canada

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle f\) bijektív.

Az injektivitás (egy-egyértelműség) igazolásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle f(y)=f(y')\). Ekkor

\(\displaystyle f(x)+f(y)+ay=f(x+f(y))=f(x+f(y'))=f(x)+f(y')+ay',\)

amiből \(\displaystyle ay=ay'\), és így \(\displaystyle a\ne 0\) alapján valóban \(\displaystyle y=y'\). Tehát \(\displaystyle f\) injektív.

A szürjektivitás igazolásához tetszőleges \(\displaystyle y\) mellett válasszunk olyan \(\displaystyle x\)-et, melyre \(\displaystyle x+f(y)=y\), vagyis legyen \(\displaystyle x=y-f(y)\). Ezt az egyenletbe helyettesítve:

\(\displaystyle f(y)=f(y-f(y))+f(y)+ay,\)

azaz

\(\displaystyle f(y-f(y))=-ay.\)

Mivel \(\displaystyle y\) tetszőleges valós szám lehet, ezért \(\displaystyle -ay\) is felvehet minden valós értéket, így minden előáll mint valaminek az \(\displaystyle f\) szerinti képe. Tehát \(\displaystyle f\) szürjektív, és így valóban bijekció.

Ezek szerint speciálisan a 0 is valaminek az \(\displaystyle f\) szerinti képe, legyen \(\displaystyle f(y_0)=0\). Ekkor \(\displaystyle y=y_0\)-t helyettesítve:

\(\displaystyle f(x+f(y_0))=f(x)+f(y_0)+ay_0,\)

amiből

\(\displaystyle f(x)=f(x)+ay_0,\)

és így \(\displaystyle y_0=0\). Tehát \(\displaystyle f(0)=0\).

Most \(\displaystyle x=0\) helyettesítéssel:

\(\displaystyle f(f(y))=f(0)+f(y)+ay=f(y)+ay.\)

Így a megadott függvényegyenlet az alábbi módon is írható:

\(\displaystyle f(x+f(y))=f(x)+f(y)+ay=f(x)+f(f(y)).\)

Mivel \(\displaystyle f\) szürjektív, ezért tetszőleges valós \(\displaystyle z\) előáll \(\displaystyle z=f(y)\) alakban, és így minden valós \(\displaystyle x,z\) esetén

\(\displaystyle f(x+z)=f(x)+f(z),\)

tehát \(\displaystyle f\) additív.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statistics:

42 students sent a solution.
6 points:	Bényei Borisz, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Fazokán Marcell, Ho Tran Khanh Linh, Horváth 530 Mihály, Kalocsai Zoltán, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Páhán Anita Dalma, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
5 points:	Ben Gillott, Tarján Bernát.
4 points:	4 students.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022