Problem B. 5230. (March 2022)

B. 5230. Points \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle D\) lie on a semicircular arc of diameter \(\displaystyle AB\). Let \(\displaystyle A'\) and \(\displaystyle B'\) denote the feet of the perpendiculars dropped to the line \(\displaystyle CD\) from the points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\), respectively. Prove that the line segments \(\displaystyle A'C\) and \(\displaystyle B'D\) are equal in length.

Proposed by L. Surányi, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Azt kell belátnunk, hogy az \(\displaystyle A'C=x\) és \(\displaystyle B'D=y\) szakaszok egyforma hosszúságúak.

A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félkör pontjai, \(\displaystyle ACDB\) húrnégyszög. A \(\displaystyle CD\) húr felezőmerőlegese átmegy a félkör \(\displaystyle O\) középpontján. Ez a felezőmerőleges egyben az \(\displaystyle ABB'A'\) derékszögű trapéz középvonala, tehát felezi az \(\displaystyle A'B'\) szárat is. A \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle A'B'\) szakaszok felezőpontja megegyezik. \(\displaystyle CA'=DB'\).

A bizonyítás ugyanez akkor is, ha a pontok sorrendje a félköríven nem \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle B\), hanem \(\displaystyle A\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle B\).

2. megoldás. A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félkör pontjai, \(\displaystyle ACDB\) húrnégyszög. A szemközti szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), \(\displaystyle CAB\sphericalangle=BDB'\sphericalangle=\alpha\). Az \(\displaystyle ACB\) és \(\displaystyle DB'B\) derékszögú háromszögek egy hegyesszöge ugyanakkora, a két háromszög hasonló. A megfelelő oldalak aránya alapján:

\(\displaystyle \frac{DB'}{DB}=\frac{AC}{AB} \rightarrow y=DB'=\frac{AC\cdot DB}{AB}.\)

Ezzel megegyező indoklással az \(\displaystyle ADB\) és \(\displaystyle AA'C\) derékszögű háromszögek is hasonlók, az oldalak aránya:

\(\displaystyle \frac{CA'}{AC}=\frac{BD}{AB} \rightarrow x=CA'=\frac{AC\cdot DB}{AB}.\)

Ha a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat megcseréljük, akkor is egyforma hosszú lesz az \(\displaystyle A'C\) és \(\displaystyle B'D\) szakasz, csak hosszabbak, mert a két kis szakasz hosszához hozzá kell adni a \(\displaystyle CD\) szakasz hosszát.

Statistics:

80 students sent a solution.
3 points:	73 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022