Problem B. 5232. (March 2022)

B. 5232. \(\displaystyle P\) is an interior point lying on the median drawn from vertex \(\displaystyle C\) of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\) such that \(\displaystyle \angle APB =180^{\circ}-\angle ACB\). Show that the line \(\displaystyle AB\) is tangent to the circle \(\displaystyle APC\).

Proposed by Sz. Kocsis, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), és a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle F\)-re való tükörképe \(\displaystyle Q\). Mivel \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AF\) súlyvonalon van, a \(\displaystyle Q\) pont a súlyvonal meghosszabbításán fekszik. Az \(\displaystyle AQBP\) négyszög átlói az \(\displaystyle F\) pontban felezik egymást, ezért \(\displaystyle AQBP\) paralelogrammma.

A paralelogramma szemközti szögei egyenlők, ezért

\(\displaystyle AQB\sphericalangle = BPA\sphericalangle = 180^\circ-BCA\sphericalangle. \)

Az \(\displaystyle AQBC\) négyszögben az egymással szemközti \(\displaystyle AQB\sphericalangle\) és \(\displaystyle BCA\sphericalangle\) összege \(\displaystyle 180^\circ\), tehát \(\displaystyle AQBC\) húrnégyszög; \(\displaystyle Q\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt körön van.

Végül, a paraelogramma szimmetriája miatt \(\displaystyle PAB\sphericalangle = QBA\sphericalangle\), továbbá a kerületi szögek tételéből \(\displaystyle QBA\sphericalangle = QCA\sphericalangle = PCA\sphericalangle\), tehát

\(\displaystyle PAB\sphericalangle = PCA\sphericalangle. \)

Tehát, az \(\displaystyle APC\) körben \(\displaystyle PAB\sphericalangle\) érintő szárú kerületi szög; ez igazolja, hogy \(\displaystyle AB\) érinti az \(\displaystyle APC\) kört.

Statistics:

54 students sent a solution.
4 points:	Andai Márk, Bencsik Dávid, Bencz Benedek, Benis Erzsébet, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Erdélyi Kata, Farkas 512 Izabella, Fülöp Csilla, Jánosik Máté, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Kurucz Kitti, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Őrfi Ádám, Schneider Dávid, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szemlér Bálint, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Vincze Farkas Csongor, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 points:	Bálint Béla, Ben Gillott, Lovas Márton, Rácz Barnabás.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022