 |
A B. 5233. feladat (2022. március) |
B. 5233. Egy szabályos hatszög csúcsaira véletlenszerű sorrendben felírjuk az \(\displaystyle 1, 2, \ldots, 6\) számokat. Ezután a hatszög minden oldalára ráírjuk a két végpontján szereplő számok különbségének abszolútértékét. Határozzuk meg az oldalakra írt hat szám összegének várható értékét.
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Először meghatározzuk, hogy a hatszög egy rögzített oldalának két végpontjába írt számok különbségének (abszolútértékének) mi a várható értéke. Az oldalak közötti szimmetria és az alapján, hogy egy összeg várható értéke az összeadandók várható értékének az összege, a kitüntetett oldalra számolt várható érték 6-szorosa lesz a válasz a feladat kérdésére.
A hat szám közül bármely kettő egyforma valószínűséggel kerül ennek az oldalnak a két végpontjára, a \(\displaystyle \binom{6}{2}\) eset közül a különbség 5-ször lesz 1, 4-szer 2, 3-szor 3, 2-szer 4 és 1-szer 5. Így a különbség várható értéke:
\(\displaystyle \frac{5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 4+1\cdot 5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}.\)
Így a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle 6\cdot \frac{7}{3}=14\).
Statisztika:
A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai