A B. 5233. feladat (2022. március)

B. 5233. Egy szabályos hatszög csúcsaira véletlenszerű sorrendben felírjuk az \(\displaystyle 1, 2, \ldots, 6\) számokat. Ezután a hatszög minden oldalára ráírjuk a két végpontján szereplő számok különbségének abszolútértékét. Határozzuk meg az oldalakra írt hat szám összegének várható értékét.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Először meghatározzuk, hogy a hatszög egy rögzített oldalának két végpontjába írt számok különbségének (abszolútértékének) mi a várható értéke. Az oldalak közötti szimmetria és az alapján, hogy egy összeg várható értéke az összeadandók várható értékének az összege, a kitüntetett oldalra számolt várható érték 6-szorosa lesz a válasz a feladat kérdésére.

A hat szám közül bármely kettő egyforma valószínűséggel kerül ennek az oldalnak a két végpontjára, a \(\displaystyle \binom{6}{2}\) eset közül a különbség 5-ször lesz 1, 4-szer 2, 3-szor 3, 2-szer 4 és 1-szer 5. Így a különbség várható értéke:

\(\displaystyle \frac{5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 4+1\cdot 5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}.\)

Így a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle 6\cdot \frac{7}{3}=14\).

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andai Márk, Bálint Béla, Bencsik Dávid, Bencz Benedek, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czanik Pál, Dávid Dániel, Diaconescu Tashi, Dienes Ervin Fotisz, Duchon Márton, Fajszi Karsa, Farkas 005 Bendegúz, Farkas 512 Izabella, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Juhász-Molnár Erik, Kalmár Botond, Kocsis 827 Péter, Kovács Alex, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Lőw László, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Richlik Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Világi Áron, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	Ben Gillott, Simon László Bence.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai