Problem B. 5233. (March 2022)

B. 5233. The vertices of a regular hexagon are labelled \(\displaystyle 1, 2, \ldots, 6\) in a random order. Then the absolute value of the difference of the labels of the adjacent endpoints is written on each side of the hexagon. Find the expected value of the sum of the six numbers written on the sides.

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először meghatározzuk, hogy a hatszög egy rögzített oldalának két végpontjába írt számok különbségének (abszolútértékének) mi a várható értéke. Az oldalak közötti szimmetria és az alapján, hogy egy összeg várható értéke az összeadandók várható értékének az összege, a kitüntetett oldalra számolt várható érték 6-szorosa lesz a válasz a feladat kérdésére.

A hat szám közül bármely kettő egyforma valószínűséggel kerül ennek az oldalnak a két végpontjára, a \(\displaystyle \binom{6}{2}\) eset közül a különbség 5-ször lesz 1, 4-szer 2, 3-szor 3, 2-szer 4 és 1-szer 5. Így a különbség várható értéke:

\(\displaystyle \frac{5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 4+1\cdot 5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}.\)

Így a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle 6\cdot \frac{7}{3}=14\).

Statistics:

57 students sent a solution.
4 points:	Andai Márk, Bálint Béla, Bencsik Dávid, Bencz Benedek, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czanik Pál, Dávid Dániel, Diaconescu Tashi, Dienes Ervin Fotisz, Duchon Márton, Fajszi Karsa, Farkas 005 Bendegúz, Farkas 512 Izabella, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Juhász-Molnár Erik, Kalmár Botond, Kocsis 827 Péter, Kovács Alex, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Lőw László, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Richlik Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Világi Áron, Zömbik Barnabás.
3 points:	Ben Gillott, Simon László Bence.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022