Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5234. feladat (2022. március)

B. 5234. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számot nevezzük mitikusnak, ha minden osztója 2-vel kisebb egy prímszámnál. Például a 15 mitikus szám. Legfeljebb hány osztója lehet egy mitikus számnak? Adjuk meg az összes olyan mitikus számot, amelynek maximális számú osztója van.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) egy mitikus szám, akkor a prímtényezős felbontásában:

  • Nem szerepelhet a 2, hiszen \(\displaystyle 2+2=4\) összetett.
  • Nem szerepelhet \(\displaystyle 3k+1\) alakú prím, hiszen az ennél 2-vel nagyobb szám osztható 3-mal (és nagyobb, mint 3), tehát nem prím.
  • Legfeljebb egy darab \(\displaystyle 3k+2\) alakú prím lehet, hiszen ha lenne kettő is, \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\), akkor \(\displaystyle pq\) is osztója lenne \(\displaystyle n\)-nek. Márpedig \(\displaystyle pq+2 =(3k+2)(3\ell+2) + 2 = 3 \cdot (3k\ell +k+\ell+2)\) osztható 3-mal, és nagyobb, mint 3, tehát nem prím.

Tehát minden \(\displaystyle n\) mitikus szám vagy \(\displaystyle 3^m\), vagy \(\displaystyle 3^m \cdot p\) alakú, ahol \(\displaystyle p\) egy \(\displaystyle 3k+2\) alakú prím. Mivel \(\displaystyle 3^5+2=245\) összetett, ezért mindkét esetben teljesül, hogy \(\displaystyle m \leq 4\).

Ha \(\displaystyle n = 3^m \cdot p\), ahol \(\displaystyle m \geq 3\), akkor \(\displaystyle p, 3p, 9p, 27p\) mind osztói \(\displaystyle n\)-nek. Ha \(\displaystyle p \neq 5\), akkor \(\displaystyle p+2, 3p+2, 9p+2\) és \(\displaystyle 27p+2\) közül valamelyik osztható lesz 5-tel (ha \(\displaystyle p=5k+1\), akkor \(\displaystyle 3p+2 = 3(5k+1)+2 = 5(3k+1)\); ha \(\displaystyle p=5k+2\), akkor \(\displaystyle 9p+2=9(5k+2)+2 = 5(9k+4)\); ha \(\displaystyle p=5k+3\), akkor \(\displaystyle p+2=5(k+1)\); végül ha \(\displaystyle p = 5k+4\), akkor \(\displaystyle 27p+2 = 27(5k+4)+2 = 5(27k+22)\)), és nagyobb is, mint 5, tehát összetett. Következésképpen, ha \(\displaystyle 3^m \cdot p\) mitikus és \(\displaystyle p \neq 5\), akkor \(\displaystyle m \leq 2\).

Ha \(\displaystyle 3^m \cdot 5\) mitikus, akkor is \(\displaystyle m \leq 3\), mivel \(\displaystyle 3^4 \cdot 5 + 2 = 407 = 11 \cdot 37\).

\(\displaystyle 3^3 \cdot 5 = 135\) mitikus, hiszen

$$\begin{eqnarray*} 1+2 =3, \quad 3+2=5, \quad 3^2+2=11, \quad 3^3+2=29, \\ 5+2=7, \quad 3 \cdot 5+2 = 17, \quad 3^2 \cdot 5 +2 = 47, \quad 3^3 \cdot 5 + 137 \end{eqnarray*}$$

mind prímek. A 135-nek 8 osztója van, és a fentiek szerint minden más \(\displaystyle 3^m \cdot p\) alakú mitikus számnak legfeljebb \(\displaystyle 2(m+1) \leq 6\) osztója lehet.

A 3-hatványok közül \(\displaystyle 3^4\) a legnagyobb mitikus szám (\(\displaystyle 3^4+2=83\) is prím), de ennek is csak 5 osztója van.

Összefoglalva: egy mitikus számnak legfeljebb 8 osztója van, és egy ilyen szám van, ez a 135.


Statisztika:

A B. 5234. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai