Problem B. 5234. (March 2022)
B. 5234. A positive integer \(\displaystyle n\) is defined to be a mythical number if each of its divisors is 2 smaller than a prime number. For example, 15 is a mythical number. What is the largest possible number of divisors that a mythical number may have? Find all mythical numbers that have the maximum number of divisors.
Proposed by S. Róka, Nyíregyháza
(5 pont)
Deadline expired on April 11, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) egy mitikus szám, akkor a prímtényezős felbontásában:
- Nem szerepelhet a 2, hiszen \(\displaystyle 2+2=4\) összetett.
- Nem szerepelhet \(\displaystyle 3k+1\) alakú prím, hiszen az ennél 2-vel nagyobb szám osztható 3-mal (és nagyobb, mint 3), tehát nem prím.
- Legfeljebb egy darab \(\displaystyle 3k+2\) alakú prím lehet, hiszen ha lenne kettő is, \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\), akkor \(\displaystyle pq\) is osztója lenne \(\displaystyle n\)-nek. Márpedig \(\displaystyle pq+2 =(3k+2)(3\ell+2) + 2 = 3 \cdot (3k\ell +k+\ell+2)\) osztható 3-mal, és nagyobb, mint 3, tehát nem prím.
Tehát minden \(\displaystyle n\) mitikus szám vagy \(\displaystyle 3^m\), vagy \(\displaystyle 3^m \cdot p\) alakú, ahol \(\displaystyle p\) egy \(\displaystyle 3k+2\) alakú prím. Mivel \(\displaystyle 3^5+2=245\) összetett, ezért mindkét esetben teljesül, hogy \(\displaystyle m \leq 4\).
Ha \(\displaystyle n = 3^m \cdot p\), ahol \(\displaystyle m \geq 3\), akkor \(\displaystyle p, 3p, 9p, 27p\) mind osztói \(\displaystyle n\)-nek. Ha \(\displaystyle p \neq 5\), akkor \(\displaystyle p+2, 3p+2, 9p+2\) és \(\displaystyle 27p+2\) közül valamelyik osztható lesz 5-tel (ha \(\displaystyle p=5k+1\), akkor \(\displaystyle 3p+2 = 3(5k+1)+2 = 5(3k+1)\); ha \(\displaystyle p=5k+2\), akkor \(\displaystyle 9p+2=9(5k+2)+2 = 5(9k+4)\); ha \(\displaystyle p=5k+3\), akkor \(\displaystyle p+2=5(k+1)\); végül ha \(\displaystyle p = 5k+4\), akkor \(\displaystyle 27p+2 = 27(5k+4)+2 = 5(27k+22)\)), és nagyobb is, mint 5, tehát összetett. Következésképpen, ha \(\displaystyle 3^m \cdot p\) mitikus és \(\displaystyle p \neq 5\), akkor \(\displaystyle m \leq 2\).
Ha \(\displaystyle 3^m \cdot 5\) mitikus, akkor is \(\displaystyle m \leq 3\), mivel \(\displaystyle 3^4 \cdot 5 + 2 = 407 = 11 \cdot 37\).
\(\displaystyle 3^3 \cdot 5 = 135\) mitikus, hiszen
$$\begin{eqnarray*} 1+2 =3, \quad 3+2=5, \quad 3^2+2=11, \quad 3^3+2=29, \\ 5+2=7, \quad 3 \cdot 5+2 = 17, \quad 3^2 \cdot 5 +2 = 47, \quad 3^3 \cdot 5 + 137 \end{eqnarray*}$$mind prímek. A 135-nek 8 osztója van, és a fentiek szerint minden más \(\displaystyle 3^m \cdot p\) alakú mitikus számnak legfeljebb \(\displaystyle 2(m+1) \leq 6\) osztója lehet.
A 3-hatványok közül \(\displaystyle 3^4\) a legnagyobb mitikus szám (\(\displaystyle 3^4+2=83\) is prím), de ennek is csak 5 osztója van.
Összefoglalva: egy mitikus számnak legfeljebb 8 osztója van, és egy ilyen szám van, ez a 135.
Statistics:
62 students sent a solution. 5 points: Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Domján Olivér, Duchon Márton, Erdélyi Kata, Fajszi Karsa, Farkas 512 Izabella, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Horváth 530 Mihály, Jánosik Máté, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Őrfi Ádám, Sági Mihály, Sipeki Márton, Somogyi Dalma, Szabó 810 Levente, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szanyi Attila, Szemlér Bálint, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás. 4 points: 10 students. 3 points: 4 students. 2 points: 3 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022