Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5236. feladat (2022. március)

B. 5236. Legyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) három pozitív valós szám úgy, hogy \(\displaystyle abc=1\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle a+a^2+a^3 + b + b^2 + b^3 + c+ c^2 + c^3 \le {(a^2+b^2+c^2)}^2. \)

Javasolta: Lovas Márton (Budapest) és Michael Rozenberg (Izrael)

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.


1. megoldás. Egy háromváltozós \(\displaystyle F(a,b,c)\) függvény esetén jelölje \(\displaystyle \sum\limits_{cyc} F(a,b,c)\) az \(\displaystyle F(a,b,c)+F(b,c,a)+F(c,a,b)\) ciklikus összeget. Ezzel a jelöléssel a feladatban szereplő egyenlőtlenség bal oldala

\(\displaystyle \sum_{cyc}a +\sum_{cyc}a^2 +\sum_{cyc}a^3\)

alakban írható. Az egyenlőtlenség jobb oldalán egy homogén negyedfokú kifejezés szerepel, az előbbi három ciklikus összeg mindegyikét szintén homogén negyedfokúvá alakítjuk az \(\displaystyle abc=1\) feltétel segítségével, majd nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségekkel felülről becsüljük az alábbiak szerint.

Az első összegnél a mértani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség alapján kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sum_{cyc}a=\sum_{cyc}a\cdot abc\leq\sum_{cyc} a^2\frac{b^2+c^2}2. \)\(\displaystyle {(1)}\)

A második összegnél a mértani és számtani közepek közötti egyenlőtlenség alapján (ezúttal az \(\displaystyle a^2,b^2,c^2\) hármasra alkalmazva) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sum_{cyc}a^2=\sum_{cyc}a^2\cdot(abc)^{2/3}\leq \sum_{cyc}a^2\frac{a^2+b^2+c^2}3. \)\(\displaystyle {(2)} \)

Végül, a harmadik összegnél szintén a mértani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség alapján (ezúttal az \(\displaystyle a,a,a,a,b,c\) típusú hatosokra alkalmazva) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sum_{cyc}a^3 =\sum_{cyc}a^3(abc)^{1/3}\leq \sum_{cyc}a^2\frac{a^2+a^2+a^2+a^2+b^2+c^2}6=\sum_{cyc}\frac{4a^4+a^2b^2+a^2c^2}6.\)\(\displaystyle {(3)} \)

Az (1), (2), (3) egyenlőtlenségek összege éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.

2. megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle s:=a+b+c\) és \(\displaystyle t:=ab+bc+ca\) jelöléseket. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle 1=\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}{3}=\frac{s}{3},\)

azaz \(\displaystyle 3\leq s\), továbbá \(\displaystyle 3t\leq s^2\), ugyanis

\(\displaystyle 2(s^2-3t)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0.\)

Mivel

\(\displaystyle a^2+b^2+c^2=s^2-2t\)

és

\(\displaystyle a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=s(s^2-3t)+3=s^3-3st+3,\)

az igazolandó

\(\displaystyle (a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)+(a^3+b^3+c^3)\leq (a^2+b^2+c^2)^2\)

egyenlőtlenség a következő alakban is írható:

\(\displaystyle s+(s^2-2t)+(s^3-3st+3)\leq (s^2-2t)^2.\)

Ez egy \(\displaystyle t\)-ben másodfokú egyenlőtlenség:

\(\displaystyle 0\leq 4t^2-(4s^2-3s-2)t+(s^4-s^3-s^2-s-3). \)\(\displaystyle {(*)}\)

Rögzített \(\displaystyle s\) mellett ez egy felfelé álló parabola, mely a \(\displaystyle t=0\) helyen az

\(\displaystyle s^4-s^3-s^2-s-3=s^4\left(1-\frac1s-\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^3}-\frac{3}{s^4}\right)\geq s^4\left(1-\frac13-\frac19-\frac{1}{27}-\frac{3}{81}\right)>0\)

pozitív értéket veszi fel. A parabola minimumhelye \(\displaystyle \frac{4s^2-3s-2}{8}\)-nál van. Fennáll a

\(\displaystyle t\leq s^2/3\leq \frac{4s^2-3s-2}{8}\)

egyenlőtlenség, ugyanis felszorzás és rendezés után

\(\displaystyle 0\leq 4s^2-9s-6=s(4s-9)-6\)

alakban írható, ami teljesül \(\displaystyle s\geq 3\) miatt. Így a \(\displaystyle (*)\) egyenlőtlenséget elég \(\displaystyle t=s^2/3\)-ra ellenőrizni, hiszen rögzített \(\displaystyle s\) mellett a kifejezés értéke a \(\displaystyle (0,s^2/3)\) intervallumon monoton csökkenő. A \(\displaystyle t=s^2/3\) összefüggést \(\displaystyle (*)\)-ba behelyettesítve:

\(\displaystyle 0\leq 4(s^4/9)-(4s^2-3s-2)(s^2/3)+(s^4-s^3-s^2-s-3).\)

Ez 9-cel való szorzás után az alábbi alakban írható:

\(\displaystyle 0\leq s^4-3s^2-9s-27,\)

ami valóban teljesül, ugyanis

\(\displaystyle s^4-3s^2-9s-27=(s-3)(s^3+3s^2+6s+9)\)

és \(\displaystyle s\geq 3\).

Ezzel igazoltuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget.

Megjegyzés. Egyenlőség csak \(\displaystyle s=3\) esetén állhat fenn, amihez az \(\displaystyle a,b,c\) számokra a számtani és mértani középnek egybe kell esnie, ami csak \(\displaystyle a=b=c=1\) esetén lehet. Tehát egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a=b=c=1\).


Statisztika:

A B. 5236. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai