Problem B. 5238. (April 2022)

B. 5238. Solve the following equation over the set of positive integers:

\(\displaystyle (k+n)!=k^3+n^3+(k+n)(3kn-1). \)

Proposed by M. Szalai, Szeged

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle k^3+n^3=(k+n)(k^2-kn+n^2)\), ezért az egyenlet jobb oldala

\(\displaystyle k^3+n^3+(k+n)(3kn-1)=(k+n)(k^2-kn+n^2+3kn-1)=(k+n)[(k+n)^2-1]=(k+n-1)(k+n)(k+n+1)\)

alakban is írható. Bevezetve az \(\displaystyle s=k+n\) jelölést az

\(\displaystyle s!=(s-1)s(s+1)\)

egyenletet kapjuk, ahol \(\displaystyle s\geq 1+1=2\), hiszen \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\) pozitív egész számok. Egyszerűsítve (a pozitív) \(\displaystyle (s-1)s\) szorzattal a vele ekvivalens

\(\displaystyle (s-2)!=s+1\)

egyenlethez jutunk.

Ha \(\displaystyle s=2\), akkor a bal oldal értéke 1, a jobb oldal értéke 3, az egyenlet nem teljesül.

Ha \(\displaystyle s=3\), akkor a bal oldal értéke 1, a jobb oldal értéke 4, az egyenlet nem teljesül.

Ha \(\displaystyle s=4\), akkor a bal oldal értéke 2, a jobb oldal értéke 5, az egyenlet nem teljesül.

Ha \(\displaystyle s=5\), akkor a bal oldal értéke 6, a jobb oldal értéke szintén 6, az egyenlet teljesül.

Ha \(\displaystyle s\geq 6\), akkor

\(\displaystyle (s-2)!\geq (s-2)(s-3)=s^2-5s+6>s+1,\)

hiszen \(\displaystyle s^2-6s+5=(s-1)(s-5)>0\).

Tehát pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha \(\displaystyle s=5\), ekkor \(\displaystyle k=1,\ n=4\) vagy \(\displaystyle k=4,\ n=1\) vagy \(\displaystyle k=2,\ n=3\) vagy \(\displaystyle k=3,\ n=2\).

Statistics:

108 students sent a solution.
3 points:	85 students.
2 points:	13 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022