Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5239. feladat (2022. április)

B. 5239. Egy háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Mutassuk meg, hogy a beírt kör középpontja harmadolja a \(\displaystyle b\) oldalhoz tartozó szögfelezőt.

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Legyenek a háromszög csúcsai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) az ábra szerint, \(\displaystyle I\) a beírt kör középpontja, és \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle BI\) egyenes és az \(\displaystyle AC\) oldal metszéspontja. Mivel \(\displaystyle I\) a beírt kör középpontja, az \(\displaystyle AI\) és \(\displaystyle BI\) egyenesek felezik az \(\displaystyle CAB\), illetve az \(\displaystyle ABC\) szöget.

A szögfelezőtétel szerint a \(\displaystyle T\) pont az \(\displaystyle AC=b\) oldalt \(\displaystyle AB:BC=c:a\) arányban osztja, ezért, figyemelmbe véve, hogy a feltétel szerint \(\displaystyle a+c=2b\),

\(\displaystyle AT = \frac{c}{a+c}\cdot b = \frac{c}{2b}\cdot b = \frac{c}{2} \)

és

\(\displaystyle CT = \frac{a}{a+c}\cdot b = \frac{a}{2b}\cdot b= \frac{a}{2}. \)

Most írjuk fel a szögfelezőtételt az \(\displaystyle ABT\) háromszögben is, így kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{BI}{IT} = \frac{AB}{AT} = \frac{c}{c/2} = 2, \)

tehát \(\displaystyle BI=2IT\); az \(\displaystyle I\) pont a \(\displaystyle BT\) szakasz \(\displaystyle T\)-hez közelebbi harmadolópontja.

2. megoldás. Legyenek a beírt kör érintési pontjai a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle I\), sugara \(\displaystyle ID=IE=IF=r\). Legyen továbbá \(\displaystyle T=BI\cap AC\), a \(\displaystyle T\) pont merőleges vetülete a \(\displaystyle BC\) és a \(\displaystyle BA\) egyenesen \(\displaystyle D_1\), illetve \(\displaystyle F_1\). A \(\displaystyle T\) pont a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőn fekszik, ezért \(\displaystyle TD_1=TF_1\); jelölje ezt a távolságot \(\displaystyle r_1\).

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét írjuk fel kétféleképpen: a \(\displaystyle BCI\), \(\displaystyle CAI\) és \(\displaystyle ABI\) háromszögek területének összegeként, illetve az \(\displaystyle ABT\) és \(\displaystyle BCT\) háromszögek területének összegeként:

\(\displaystyle t(ABC\triangle) = t(BCI\triangle)+t(CAI\triangle)+t(ABI\triangle) = \frac{ar}2+\frac{br}2+\frac{cr}2 = \frac{(a+b+c)r}{2} = \frac{3b\cdot r}{2}, \)

illetve

\(\displaystyle t(ABC\triangle) = t(ABT\triangle)+t(BCT\triangle) = \frac{cr_1}2+\frac{ar_1}2 = \frac{(a+c)r_1}{2} = \frac{2b\cdot r_1}{2} = br_1. \)

A kettőt összevetve látjuk, hogy

\(\displaystyle \dfrac{r}{r_1} = \dfrac{t(ABC\triangle) \cdot 2/3b}{t(ABC\triangle)/b} = \dfrac23. \)

Végül, a \(\displaystyle BID\) és \(\displaystyle BTD_1\) derékszögű háromszögek hasonlóságából

\(\displaystyle \dfrac{BI}{BT} = \dfrac{ID}{TÜ1} = \frac{r}{r_1} = \frac23. \)


Statisztika:

A B. 5239. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai