Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5239. (April 2022)

B. 5239. The sides \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) of a triangle, in this order, form an arithmetic sequence. Show that the centre of the inscribed circle divides the angle bisector drawn to side \(\displaystyle b\) in a \(\displaystyle 1:2\) ratio.

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyenek a háromszög csúcsai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) az ábra szerint, \(\displaystyle I\) a beírt kör középpontja, és \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle BI\) egyenes és az \(\displaystyle AC\) oldal metszéspontja. Mivel \(\displaystyle I\) a beírt kör középpontja, az \(\displaystyle AI\) és \(\displaystyle BI\) egyenesek felezik az \(\displaystyle CAB\), illetve az \(\displaystyle ABC\) szöget.

A szögfelezőtétel szerint a \(\displaystyle T\) pont az \(\displaystyle AC=b\) oldalt \(\displaystyle AB:BC=c:a\) arányban osztja, ezért, figyemelmbe véve, hogy a feltétel szerint \(\displaystyle a+c=2b\),

\(\displaystyle AT = \frac{c}{a+c}\cdot b = \frac{c}{2b}\cdot b = \frac{c}{2} \)

és

\(\displaystyle CT = \frac{a}{a+c}\cdot b = \frac{a}{2b}\cdot b= \frac{a}{2}. \)

Most írjuk fel a szögfelezőtételt az \(\displaystyle ABT\) háromszögben is, így kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{BI}{IT} = \frac{AB}{AT} = \frac{c}{c/2} = 2, \)

tehát \(\displaystyle BI=2IT\); az \(\displaystyle I\) pont a \(\displaystyle BT\) szakasz \(\displaystyle T\)-hez közelebbi harmadolópontja.

2. megoldás. Legyenek a beírt kör érintési pontjai a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle I\), sugara \(\displaystyle ID=IE=IF=r\). Legyen továbbá \(\displaystyle T=BI\cap AC\), a \(\displaystyle T\) pont merőleges vetülete a \(\displaystyle BC\) és a \(\displaystyle BA\) egyenesen \(\displaystyle D_1\), illetve \(\displaystyle F_1\). A \(\displaystyle T\) pont a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőn fekszik, ezért \(\displaystyle TD_1=TF_1\); jelölje ezt a távolságot \(\displaystyle r_1\).

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét írjuk fel kétféleképpen: a \(\displaystyle BCI\), \(\displaystyle CAI\) és \(\displaystyle ABI\) háromszögek területének összegeként, illetve az \(\displaystyle ABT\) és \(\displaystyle BCT\) háromszögek területének összegeként:

\(\displaystyle t(ABC\triangle) = t(BCI\triangle)+t(CAI\triangle)+t(ABI\triangle) = \frac{ar}2+\frac{br}2+\frac{cr}2 = \frac{(a+b+c)r}{2} = \frac{3b\cdot r}{2}, \)

illetve

\(\displaystyle t(ABC\triangle) = t(ABT\triangle)+t(BCT\triangle) = \frac{cr_1}2+\frac{ar_1}2 = \frac{(a+c)r_1}{2} = \frac{2b\cdot r_1}{2} = br_1. \)

A kettőt összevetve látjuk, hogy

\(\displaystyle \dfrac{r}{r_1} = \dfrac{t(ABC\triangle) \cdot 2/3b}{t(ABC\triangle)/b} = \dfrac23. \)

Végül, a \(\displaystyle BID\) és \(\displaystyle BTD_1\) derékszögű háromszögek hasonlóságából

\(\displaystyle \dfrac{BI}{BT} = \dfrac{ID}{TD_1} = \frac{r}{r_1} = \frac23. \)


Statistics:

70 students sent a solution.
3 points:Andai Márk, Borsos Balázs, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Diószeghy Erzsébet, Duchon Márton, Erdélyi Kata, Farkas 512 Izabella, Geretovszky Márton László, Halász Henrik, Han Ziying, Horváth 530 Mihály, Jánosik Máté, Juhász-Molnár Erik, Kalmár Botond, Kalocsai Zoltán, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Lőw László, Márkus Liza, Máthé Gergely, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Molnár Ábel, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 429 Leila, Németh Márton, Németh Norbert Marcell, Romaniuc Albert-Iulian, Sarnyai Zalán, Schneider Dávid, Somogyi Dalma, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szanyi Attila, Szittyai Anna, Tóth 057 Bálint, Tran Dávid, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
2 points:14 students.
1 point:6 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022