Problem B. 5240. (April 2022)

B. 5240. Show that every positive integer \(\displaystyle n\) has a multiple in which the sum of the digits is \(\displaystyle n\).

Proposed by Cs. Sándor, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A skatulya-elv alapján bármely \(\displaystyle (n-1)n+1\) egész szám közül kiválasztható \(\displaystyle n\), melyek \(\displaystyle n\)-nel osztva ugyanazt a maradékot adják. Speciálisan, a \(\displaystyle 10^0,10^1,10^2,\dots,10^{(n-1)n}\) számok közül kiválasztható \(\displaystyle n\), melyek ugyanazt a maradékot adják \(\displaystyle n\)-nel osztva. Ezek összege egyrészt \(\displaystyle n\)-nel osztható, másrészt pontosan \(\displaystyle n\) nemnulla jegye van, ami mind 1-es, vagyis jegyeinek összege \(\displaystyle n\). Ezzel igazoltuk, hogy van az \(\displaystyle n\) számnak olyan többszöröse, melyben a számjegyek összege \(\displaystyle n\).

Statistics:

50 students sent a solution.
4 points:	Bencz Benedek, Bényei Borisz, Csonka Illés, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Dienes Ervin Fotisz, Diószeghy Erzsébet, Duchon Márton, Farkas 005 Bendegúz, Farkas 512 Izabella, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Han Ziying, Horváth 530 Mihály, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Kovács Alex, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Nádor Artúr, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Romaniuc Albert-Iulian, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 points:	Chrobák Gergő, Juhász-Molnár Erik, Móricz Benjámin, Szakács Domonkos, Szanyi Attila, Tran Dávid, Világi Áron.
2 points:	5 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022