Problem B. 5241. (April 2022)

B. 5241. In a triangle \(\displaystyle ABC\), the centre of the circumscribed circle is \(\displaystyle O\), and \(\displaystyle \angle ABC > 90^\circ\). The tangent drawn to the circumscribed circle at \(\displaystyle C\) intersects line \(\displaystyle AB\) at point \(\displaystyle P\), and the perpendicular drawn from \(\displaystyle P\) to \(\displaystyle BC\) intersects line \(\displaystyle OC\) at \(\displaystyle Q\). Prove that \(\displaystyle AB\) is perpendicular to \(\displaystyle AQ\).

Proposed by Z.\(\displaystyle \,\)L. Nagy, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög két hegyesszöge a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \gamma\), a \(\displaystyle BC\) oldalra a \(\displaystyle P\) pontból állított merőleges talppontja \(\displaystyle T\), továbbá \(\displaystyle QCA\sphericalangle=\varphi\), az ábra szerint.

A szögek kiszámításával megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle QCA\sphericalangle\) és \(\displaystyle QPA\sphericalangle\) szögek ugyanakkorák.

A \(\displaystyle PCB\sphericalangle\) szög az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének \(\displaystyle BC\) húrjához tartozó érintő szárú kerületi szög, tehát egyenlő nagyságú az \(\displaystyle A\) csúcsnál levő belső szöggel, azaz \(\displaystyle PCB\sphericalangle=\alpha\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög tompaszögű, a két hegyesszög összege kisebb \(\displaystyle 90^\circ\)-nál, ezért \(\displaystyle \varphi=QCA\sphericalangle=OCA\sphericalangle=90-\alpha-\gamma\).

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\) csúcshoz tartozó külső szöge \(\displaystyle \alpha+\gamma\), emiatt a \(\displaystyle BTP\) derékszögű háromszög másik hegyesszöge \(\displaystyle TPB\sphericalangle=QPA\sphericalangle=90^\circ-\alpha-\gamma\).

A szögek előbbi kiszámításával megmutattuk, hogy a \(\displaystyle QA\) szakasz a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle P\) pontokból \(\displaystyle \varphi=90^\circ-\alpha-\gamma\) szögben látszik, más szóval a \(\displaystyle QAPC\) négyszög húrnégyszög. E húrnégyszögnek \(\displaystyle C\)-nél a feltétel szerint derékszöge van, tehát a szemközti szög, a \(\displaystyle BAQ\sphericalangle\) szintén derékszög.

Statistics:

56 students sent a solution.
4 points:	51 students.
3 points:	2 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2022