Problem B. 5247. (May 2022)

B. 5247. The ends of a rope are fixed to the ground at two points separated by a distance shorter than the length of the rope. The rope will become taut if its midpoint is raised to a height of 150 cm. The rope will also become taut if a point of the rope 90 cm from one end is raised to a height of 90 cm. How long is the rope?

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kötél kétféle megfeszített helyzetét az alábbi ábrán szemléltetjük.

Legyen az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) rögzítési pontok távolsága \(\displaystyle 2d\), a kötél hossza \(\displaystyle 2x\). A távolságokat cm-ekben számoljuk. A kötél felezőpontja \(\displaystyle C\), az \(\displaystyle A\) ponttól 90 cm-re levő ,,feszítő" kötélpont pedig \(\displaystyle D\). A \(\displaystyle BC\) szakasz hossza \(\displaystyle x\) cm, míg a \(\displaystyle DB\) szakasz hossza \(\displaystyle 2x-90\) cm. Most írjuk fel a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle BTC\) és \(\displaystyle BAD\) derékszögű háromszögekre:

\(\displaystyle x^2=d^2+150^2,\)

\(\displaystyle (2x-90)^2=(2d)^2+90^2.\)

A második egyenletből kivonva az első négyszeresét:

\(\displaystyle 4x^2-360x+8100-4x^2=4d^2+8100-4d^2-90\,000,\)

ahonnan egyszerűsítés és rendezés után:

\(\displaystyle 360x=90000,\)

\(\displaystyle 2x=500.\)

A kötél 5 m hosszúságú.

Statistics:

73 students sent a solution.
3 points:	Andai Márk, Bencz Benedek, Borsos Balázs, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Czipó Áron, Dienes Ervin Fotisz, Diószeghy Erzsébet, Erdélyi Kata, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Han Ziying, Jeviczki Soma Balázs, Koltai Csaba Ferenc, Kovács Benedek Noel, Kurucz Kitti, Márkus Liza, Máthé Gergely, Molnár Ábel, Molnár Dóra, Molnár Péter, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 292 Korina, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Petrányi Lilla, Richlik Bence, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Somogyi Dalma, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szittyai Anna, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Török Eszter Júlia, Veres Dorottya, Wiener Anna.
2 points:	18 students.
1 point:	8 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2022