Problem B. 5248. (May 2022)
B. 5248. Solve the following simultaneous equations over the set of real numbers:
$$\begin{align*} \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y & =\frac{8}{xy},\\ x(x+1)+y(y+1) & =6. \end{align*}$$(4 pont)
Deadline expired on June 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyenletrendszer akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egyike sem 0. Ha \(\displaystyle xy\ne0\), akkor az első egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk azt \(\displaystyle xy\)-nal szorozva:
\(\displaystyle x^3+y^3+x^2y+xy^2=8.\)
Bevezetve az \(\displaystyle a=x+y\) és \(\displaystyle b=x^2+y^2\) változókat ez az egyenlet
\(\displaystyle ab=8\)
alakban írható. A második egyenlet az új változókkal:
\(\displaystyle a+b=6.\)
Így \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) a \(\displaystyle (z-a)(z-b)=z^2-6z+8\) egyenlet két gyöke: vagy \(\displaystyle a=4\) és \(\displaystyle b=2\) vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=4\). Mivel \(\displaystyle 0\leq (x-y)^2=2b-a^2\), ezért \(\displaystyle a^2\leq 2b\), ami csak a második esetben teljesül, \(\displaystyle a=4,\ b=2\) nem lehetséges. Ha \(\displaystyle a=2,\ b=4\), akkor \(\displaystyle 0=a^2-b=2xy\) alapján \(\displaystyle xy=0\), azonban \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egyike sem lehet 0, így itt sem kapunk megoldást.
Tehát az egyenletrendszernek nincsen megoldása.
Statistics:
78 students sent a solution. 4 points: 61 students. 3 points: 10 students. 1 point: 2 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2022