Problem B. 5250. (May 2022)
B. 5250. Prove that for all non-negative integers \(\displaystyle n\),
\(\displaystyle 2^{2^{n}(n-2)+n+2}\le (2^n)!\le 2^{2^{n}(n-1)+1}. \)
Proposed by I. Blahota, Nyíregyháza
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Mgoldás. Az alsó becslés igazolásához a \(\displaystyle (2^n)!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2^n\) szorzat minden tényezőjét becsüljük alulról a legnagyobb nála nem nagyobb 2-hatvánnyal:
\(\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot \ldots \cdot2^n\geq 1\cdot 2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 8\cdot \ldots \cdot 2^n=(2^1)^{2^1}\cdot (2^2)^{2^2}\cdot (2^3)^{2^3}\cdot\ldots\cdot (2^{n-1})^{2^{n-1}}2^n=2^A,\)
ahol \(\displaystyle A=1(2^1)+2(2^2)+3(2^3)+\dots+(n-1)2^{n-1}+n\). (Itt \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=1\) esetén csak egy tag van: \(\displaystyle A=n\).)
Ehhez hasonlóan, a felső becslés igazolásához a \(\displaystyle (2^n)!\) szorzat minden tényezőjét becsüljük felülről a legkisebb nála nem kisebb 2-hatvánnyal:
\(\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot \ldots \cdot2^n\leq 1\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8 \cdot\ldots\cdot 2^n=(2^1)^{2^0}\cdot (2^2)^{2^1}\cdot (2^3)^{2^2}\cdot\ldots\cdot (2^{n})^{2^{n-1}}=2^B,\)
ahol \(\displaystyle B=1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+\dots+(n)2^{n-1}\). (Ez \(\displaystyle n=0\)-ra az üres összeg: \(\displaystyle B=0\).)
\(\displaystyle B\)-t mértani sorozatok összegére bontva, majd ezeket összegezve:
$$\begin{multline*} B=(2^0+2^1+\dots+2^{n-1})+(2^1+\dots+2^{n-1})+\dots+(2^{n-2}+2^{n-1})+2^{n-1}=\\ =(2^n-1)+(2^n-2)+\dots+(2^n-2^{n-2})+(2^{n}-2^{n-1})=n2^n-(2^n-1)=2^n(n-1)+1, \end{multline*}$$tehát a kapott felső becslésünk éppen az igazolandó becslés.
Az \(\displaystyle A\) összeg egy ,,\(\displaystyle B\) típusú'' összeg (csak \(\displaystyle n\) helyett \(\displaystyle (n-1)\)-ig véve a tagokat) 2-szeresének és \(\displaystyle n\)-nek az összege:
\(\displaystyle A=2(1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+\dots+(n-1)2^{n-2})+n=2\cdot (2^{n-1}(n-2)+1)+n=2^n(n-2)+n+2,\)
így az alsó becslésünk is éppen az igazolandó becslés.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Statistics:
50 students sent a solution. 5 points: Bencsik Dávid, Bencz Benedek, Bényei Borisz, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Farkas 005 Bendegúz, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Ho Tran Khanh Linh, Horváth 530 Mihály, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Németh Márton, Richlik Bence, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szabó 810 Levente, Szanyi Attila, Tóth 057 Bálint, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás. 4 points: Bálint Béla, Csilling Dániel, Csonka Illés, Dienes Ervin Fotisz, Han Ziying, Laskai Botond, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Szakács Ábel, Szemlér Bálint, Tarján Bernát. 3 points: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2022