Problem B. 5254. (September 2022)

B. 5254. Prove that the difference of the squares of any two odd numbers not divisible by 3 is divisible by 24.

(Journal of Mathematics and Science Didactics, 1943)

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Egy 3-mal nem osztható páratlan szám 6-os maradéka 1 vagy 5, így biztosan felírható \(\displaystyle 6k\pm1\) alakban, ahol \(\displaystyle k\) egész szám. Mivel

\(\displaystyle (6k\pm1)^2=36k^2\pm12k+1=24k^2+12k(k\pm 1)+1\)

és \(\displaystyle k(k\pm 1)\) biztosan páros, így \(\displaystyle 12k(k\pm 1)\) (és \(\displaystyle 24k^2\) is) osztható 24-gyel, vagyis a \(\displaystyle (6k\pm1)^2\) szám 24-es maradéka biztosan 1. Ebből már következik, hogy két, 3-mal nem osztható páratlan szám négyzetének különbsége valóban osztható 24-gyel.

2. megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) két, 3-mal nem osztható páratlan szám. Ekkor egyrészt \(\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) biztosan osztható 3-mal, hiszen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) hármas maradéka 1 vagy 2 lehet; ha a maradékuk egyezik, akkor \(\displaystyle 3\mid a-b\), ha különbözik, akkor pedig \(\displaystyle 3\mid a+b\). Másrészt, az \(\displaystyle a+b\) és \(\displaystyle a-b\) számok párosak, ráadásul valamelyik 4-gyel is osztható, hiszen különbségük \(\displaystyle 2b\), ami 4-gyel osztva 2 maradékot ad (hiszen \(\displaystyle b\) páratlan). Tehát \(\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) két páros szám szorzata, melyek közül az egyik 4-gyel is osztható, így a szorzat 8-cal biztosan osztható. Tehát két, 3-mal nem osztható páratlan szám négyzetének különbsége 3-mal és 8-cal is osztható, így valóban osztható 24-gyel.

Statistics:

256 students sent a solution.
3 points:	217 students.
2 points:	14 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022