Problem B. 5256. (September 2022)

B. 5256. In the lottery game, five numbers are drawn out of ninety every week. Andrew fills out a single lottery ticket with the same five numbers in each of the 52 weeks of the year. Belle uses a different scheme. She plays only once a year with 52 tickets simultaneously: she fills them out in pairwise different ways. Is it true that both of them have the same chance of having a ticket with five correct numbers?

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Mivel összesen \(\displaystyle \binom{90}{5}\)-féleképpen lehet kitölteni egy szelvényt, ezért Beának

\(\displaystyle p_B:=\frac{52}{\binom{90}{5}}=52p\)

valószínűséggel lesz telitalálatos szelvénye, ahol \(\displaystyle p=1/\binom{90}{5}\).

András szelvénye minden héten \(\displaystyle p=\frac{1}{\binom{90}{5}}\) valószínűséggel lesz telitalálatos, így annak a valószínűsége, hogy egyik héten sincs telitalálatos szelvénye \(\displaystyle \left(1-\frac{1}{\binom{90}{5}} \right )^{52}\). Tehát Andrásnak

\(\displaystyle p_A:=1-\left(1-\frac{1}{\binom{90}{5}} \right )^{52}=1-(1-p)^{52}\)

valószínűséggel lesz telitalálatos szelvénye.

A Bernoulli-egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle (1-p)^{52}>1-52p,\)

és így

\(\displaystyle p_B=52p>1-(1-p)^{52}=p_A.\)

A teljesség kedvéért ezt az egyenlőtlenséget be is bizonyítjuk: \(\displaystyle k\)-ra vonatkozó indukcióval megmutatjuk, hogy bármely \(\displaystyle k\geq 2\) egész számra \(\displaystyle (1-p)^k>1-kp\). Ha \(\displaystyle k=2\), akkor valóban \(\displaystyle (1-p)^2=1-2p+p^2>1-2p\), hiszen \(\displaystyle p>0\). Az indukciós lépés \(\displaystyle k\)-ról \(\displaystyle (k+1)\)-re pedig az alábbiak szerint igazolható:

\(\displaystyle (1-p)^{k+1}=(1-p)^k(1-p)>(1-kp)(1-p)=1-(k+1)p+kp^2>1-(k+1)p.\)

Tehát \(\displaystyle p_B>p_A\), így Andrásnak és Beának nem ugyanakkora esélye van arra, hogy legyen telitalálatos szelvényük.

Megjegyzés. A \(\displaystyle p_A\ne p_B\) állítást másképpen is igazolhatjuk. A 89 prímszám, a \(\displaystyle p_B=\frac{52}{\binom{90}{5}}\) tört redukált alakjában a nevezőt első hatványon osztja, a \(\displaystyle p_A=1-\left(1-\frac{1}{\binom{90}{5}} \right )^{52}\) száméban pedig 52-edik hatványon. Így nem lehet \(\displaystyle p_A=p_B\).

2. megoldás. András esélye telitalálatos szelvényre nem változna, ha ő is csak az 52-edik héten játszana, 52, egymástól függetlenül, véletlenszerűen kitöltött szelvénnyel. Ha a szelvények között \(\displaystyle t\) különböző lesz, akkor telitalálatos szelvényre \(\displaystyle \frac{t}{\binom{90}{5}}\) esélye van, ami legfeljebb \(\displaystyle \frac{52}{\binom{90}{5}}\) lehet, ami épp Bea esélye. Azonban pozitív valószínűséggel az 52 szelvény között lesz két egyforma, így András esélye telitalálos szelvényre ennél kisebb. Tehát az esélyük nem egyforma.

Statistics:

208 students sent a solution.
4 points:	87 students.
3 points:	13 students.
2 points:	38 students.
1 point:	40 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	13 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022