Problem B. 5259. (September 2022)
B. 5259. Solve the following simultaneous equations over the set of real numbers:
$$\begin{eqnarray*} x^2- 3y + 4 &=& z, \\ y^2 -3z + 4 &=& w,\\ z^2 - 3w +4 &=& x,\\ w^2 - 3x + 4 &=& y. \end{eqnarray*}$$Based on the idea of M. Bencze, Brassó
(4 pont)
Deadline expired on October 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A négy egyenletet összeadva, és mindent egy oldalra rendezve négy teljes négyzetet tudunk kialakítani:
\(\displaystyle (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2=0.\)
A kapott egyenlet csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=z=w=2\), hiszen valós számok négyzetösszege csak akkor lehet 0, ha mindegyikük 0. Ha viszont \(\displaystyle x=y=z=w=2\), akkor a négy megadott egyenlet valóban teljesül.
Tehát az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, éspedig \(\displaystyle x=y=z=w=2\).
Statistics:
202 students sent a solution. 4 points: 158 students. 3 points: 7 students. 2 points: 5 students. 1 point: 6 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 12 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 3 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022