A B. 5262. feladat (2022. október)

B. 5262. Lenke leírt egy lapra egy természetes számot, amely nem tartalmaz 0-t, de tartalmaz legalább két különböző számjegyet. Ezután a szám alá leírta az összes olyan számot, amely az eredeti szám jegyei sorrendjének megváltoztatásával létrehozható. Legfeljebb mekkora lehet a lapon szereplő számok legnagyobb közös osztója?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt igazoljuk, hogy a legnagyobb közös osztó legfeljebb 63 lehet.

A leírt szám két különböző számjegye legyen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), melyekre \(\displaystyle 1\leq a<b\leq 9\). A lapra írt számok között van olyan, amely \(\displaystyle \overline{ab}\)-re végződik, és ha itt csak az utolsó két jegyet cseréljük fel, akkor a szám végződése \(\displaystyle \overline{ba}\) lesz (a többi jegy pedig változatlan marad). Ennek a két számnak a különbsége \(\displaystyle \overline{ba}-\overline{ab}=(10b+a)-(10a+b)=9(b-a)\). A lapra írt számok legnagyobb közös osztója ennek a különbségnek is osztója kell legyen. Ha \(\displaystyle a=1,b=9\), akkor ez a különbség \(\displaystyle 9\cdot8=72\), minden más esetben \(\displaystyle 9(b-a)\leq 9\cdot 7=63\). Ha a felírt szám nem csak 1-esekből és 9-esekből áll, akkor tehát azt kapjuk, hogy a legnagyobb közös osztó legfeljebb 63. Ha szám minden jegye 1-es vagy 9-es, akkor a legnagyobb közös osztó osztója a 72-nek, de mivel páratlan számok legnagyobb közös osztója, így páratlan lévén a 9-nek is osztója kell legyen. Tehát azt kaptuk, hogy a legnagyobb közös osztó biztosan legfeljebb 63.

Akkor lehet 63, ha \(\displaystyle a=1,b=8\) (és más jegy nincsen) vagy ha \(\displaystyle a=2,b=9\) (és más jegy nincsen). Próbálkozzunk például az 1-es és 8-as jegyekkel. Olyan számot keresünk, ami 63-mal osztható, vagyis 7-tel és 9-cel kell oszthatónak lennie. A 9-cel való oszthatóság teljesül, ha például ugyanannyi 1-est és 8-ast használunk. A 18 nem osztható 7-tel, a 1188 sem, viszont a \(\displaystyle 111\,888\) igen. Tehát \(\displaystyle 63\mid 111\,888\), tegyük fel, hogy Lenke ezt a számot írta először a lapra. A számjegyek sorrendjének megváltoztatásával összesen \(\displaystyle \binom{6}{3}=20\)-féle szám kapható (a \(\displaystyle 111\,888\)-at is számolva), megmutatjuk, hogy ezek mindegyike osztható 63-mal. Világos, hogy mindegyikhez eljuthatunk úgy, hogy a \(\displaystyle 111\,888\) számból indulva mindig két szomszédos (különböző) jegyet cserélünk fel. Így mindig \(\displaystyle 18\leftrightarrow81\) csere történik, ezért a változtatás során a szám értéke \(\displaystyle \pm(81-18)\cdot 10^i=\pm63\cdot 10^i\)-nel változik, és így végig 63-mal osztható marad.

Tehát a lapon szereplő számok legnagyobb közös osztója legfeljebb 63 lehet. Ennyi lehet is, például, ha Lenke a 111888 számot írta le.

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai