Problem B. 5263. (October 2022)
B. 5263. Prove that the sum of the squares of the medians of a triangle is not less than the square of the semiperimeter of the triangle.
Proposed by László Németh, Fonyód
(3 pont)
Deadline expired on November 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ismert, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével (paralelogramma-tétel). Ebből azonnal következik az a – szintén ismert – tény, hogy a háromszög súlyvonalainak hossza kifejezhető az oldalak hosszával. A szokásos jelölések mellett tükrözzük a háromszöget a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontjára. Ekkor egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek oldalai \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), átlói pedig az \(\displaystyle a\) oldal és az \(\displaystyle a\)-hoz tartozó \(\displaystyle s_a\) súlyvonal kétszerese. A paralelogramma-tétel ebben az esetben:
\(\displaystyle a^2+(2s_a)^2=2b^2+2c^2. \)
Rendezve:
\(\displaystyle s_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.\)
Ugyanezzel az eljárással a három súlyvonal négyzetének összege:
\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).\)
A befejezéshez használjuk a három pozitív szám számtani és négyzetes közepei közötti egyenlőtlenséget, mely szerint
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{a+b+c}{3}.\)
A háromszögre tekintettel ez most írható
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{2s}{3}\)
alakban is, ahonnan a négyzetösszeget kifejezve és a súlyvonalak négyzetösszegébe helyettesítve éppen a feladat állítását kapjuk:
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{4s^2}{3}, \)
\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{3}{4}\frac{4s^2}{3}=s^2.\)
Egyenlőség akkor és a csak akkor, ha a számtani-négyzetes közepek között egyenlőség van, ez pedig pontosan \(\displaystyle a=b=c\) esetén áll fenn.
Statistics:
166 students sent a solution. 3 points: 143 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 10 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022