Problem B. 5265. (October 2022)
B. 5265. Enlarge the incircle of a right-angled triangle by a scale factor of 2, where the center of enlargement is the vertex at the right angle. Show that this circle touches the circumcircle of the triangle.
Proposed by Viktor Vígh, Szeged
(4 pont)
Deadline expired on November 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás A kompakt leírás kedvéért helyezzük el a derékszögű háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy \(\displaystyle C\) derékszögű csúcsa az origóba essen, továbbá \(\displaystyle A(a,0)\) és \(\displaystyle B(0,b)\), ahol \(\displaystyle a,b>0\) a háromszög befogói. Használjuk az ábra jelöléseit!
A \(\displaystyle CEIF\) négyszög egyszerre deltoid és téglalap, ezért négyzet. Oldala egyrészről a beírt kör \(\displaystyle r\) sugara, másrészről a \(\displaystyle C\) csúcsból a beírt körhöz húzott érintőszakasz \(\displaystyle z\), amelyről jól ismert, hogy \(\displaystyle z=s-c=(a+b-c)/2\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle r=(a+b-c)/2\), valamint az \(\displaystyle I\) pont koordinátáit is megkaptuk. Világos, hogy a kétszeres nagyítás után kapott kör sugarára \(\displaystyle r'=2r=a+b-c\), középontjára \(\displaystyle I'(a+b-c,a+b-c)\) teljesül.
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja, azaz az \(\displaystyle O(a/2,b/2)\) pont, sugara pedig az átfogó fele, \(\displaystyle R=c/2\). A feladat állítása következik, ha megmutatjuk, hogy \(\displaystyle R=r'+OI'\), amivel ekvivalens \(\displaystyle OI'^2=(R-r')^2\). (A sugáregyenlőtlenség szerint \(\displaystyle r'<R\).)
\(\displaystyle OI'^2\) felírható a Pitagorasz-tétel (vagy ha úgy tetszik, a távolságformula) segítségével:
\(\displaystyle OI'^2=\left ((a+b-c)-\frac a2\right )^2+\left ((a+b-c)-\frac b2 \right)^2.\)
Elegendő tehát belátnunk, hogy
\(\displaystyle \left ((a+b-c)-\frac a2\right )^2+\left ((a+b-c)-\frac b2 \right)^2=\left (\frac c2-(a+b-c)\right )^2.\)
A négyzetreemeléseket elvégezve, és a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle ABC\) háromszögre felhasználva ez könnyen ellenőrizhető, hogy teljesül. Ezzel az állítást beláttuk.
2. megoldás A derékszögű háromszög magasságpontja a háromszög derékszögű csúcsa. Ismert, hogy a magasságpontból a körülírt kört felére kicsinyítve a háromszög Feuerbach-körét kapjuk. A Feuerbach-tétel szerint a Feuerbach-kör érinti a beírt kört, amiből a feladat állítása azonnal következik.
Statistics:
95 students sent a solution. 4 points: 72 students. 3 points: 7 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022