Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5266. feladat (2022. október)

B. 5266. Néhány focista együtt nyaral. Összesen \(\displaystyle k\) klubból és \(\displaystyle n\) nemzetből valók, ahol \(\displaystyle k < n\). Bizonyítsuk be, hogy van közöttük legalább \(\displaystyle n-k+1\) olyan focista, aki több klubtársával nyaral együtt, mint honfitársával.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Képzeljük el, hogy mindegyik, a nyaralásban érintett klub küld egy-egy körtetortát a nyaralóknak. Az egy klubhoz tartozók egymás között egyenlően elosztva fogyasztják el a klubtól kapott körtetortát, így ha az \(\displaystyle i\)-edik játékosnak \(\displaystyle k_i\) klubtársa van jelen, akkor \(\displaystyle \frac1{k_i+1}\) körtetortát evett.

Ezután mindegyik érintett ország küld egy-egy narancstortát is a nyaralóknak. Ezúttal a honfitársak osztoznak testvériesen egy-egy tortán, így ha az \(\displaystyle i\)-edik játékosnak \(\displaystyle n_i\) honfitársa van jelen, akkor \(\displaystyle \frac1{n_i+1}\) narancstorta jut neki. Ha a torták mind egyforma méretűek, akkor pontosan azok ettek több narancstortát, mint körtetortát, akik több klubtárssal nyaralnak együtt, mint honfitárssal.

Összesen \(\displaystyle n\) narancstorta és \(\displaystyle k\) körtetorta fogyott. Minden játékosra teljesül, hogy legfeljebb 1 egész narancstortát, és 0-nál több körtetortát evett. Egy focistánál tehát csak 1-nél kisebb többlet keletkezhet a narancstorta-fogyasztásból a körtetorta-fogyasztással szemben. (Algebrázva: \(\displaystyle \frac1{n_i+1} - \frac1{k_i+1} < 1\), mivel mindkét tag a \(\displaystyle (0,1]\) intervallumban van.) Így az \(\displaystyle n-k\) tortányi naracstöbblet eléréséhez kell legalább \(\displaystyle n-k+1\) olyan focista, akinek több narancstorta jutott, mint körtetorta.


Statisztika:

A B. 5266. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai